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      覚えていると得するよ
 
平方数

 112=121 122=144 132=169 142=196

 152=225 162=256 172=289 182=324

 192=361 252=625
  2の累乗

 22=4  23=8  24=16  25=32  26=64

 27=128  28=256  29=512  210=1024

  (2進法でよく使うよ)
0の割り算 (0では割れない)

 0÷1=0

 1÷0=解なし  (不能) 

 0÷0=すべての実数 (不定)
倍数の見分け方

 3の倍数=(各位の数の和)が3の倍数

 9の倍数=(各位の数の和)が9の倍数

 4の倍数=(下二桁)が4の倍数
3で割ったときの数

 3で割り切れる数(3の倍数)=3k (kは整数)

 3で割ったとき1余る数=3k+1 (kは整数)

 3で割ったとき2余る数=3k+2 (kは整数)

 
Nのすべての約数

 N=ax×by×cz の約数

 ・ 表し方 … (a1〜x) × (b1〜y) × (c1〜z)
 ・ 個 数 … x+1   y+1   z+1

・360(23×32×5)は, 4×3×2=24個の約数がある
0と1の約数・倍数

 ・1は,すべての整数の約数
    ⇒約数に1を入れ忘れるな!
   (逆に,すべての整数は1の倍数)

 ・0は,すべての整数の倍数
    ⇒倍数に0を入れ忘れるな!
   (しかし,どの整数も0の約数ではない)
公約数と公倍数

 ・すべての公約数は,最大公約数の約数
   12と18の最大公約数=6
   12と18の 全 公約数=1,2,3,6

 ・すべての公倍数は,最小公倍数の倍数
   4と6の最小公倍数=12
   4と6の 全 公倍数=12,24,36,48,…
連続整数の積

 ・連続2整数の積は,2で割り切れる。
   (2整数の中に,2の倍数が1つ含まれるから)
   5×6    48×49
 ・連続3整数の積は,3で割り切れる。
   (3整数の中に,3の倍数が1つ含まれるから)
   5×6×7  48×49×50
比の値

たとえば
  x  y のとき,  x  y k とおき,
  2  3  2  3

 x2k,y3k としてみる。
 
 連比

たとえば
 x:y:z=1:2:3 のとき,( x y z も同様)
1 2 3

 xky2kz3k としてみる。
  
  指数法則

 xa×xbxa+b  (xa)bxab
 xa÷xbxa-b  (xy)axaya
 x0=1
  ・x2×x5x2+5x7 ・(x23x2×3x6
  ・x2÷x5x2-5x-3  1   ・(xy)3x3y3 
x3
 乗法公式

 (xa)(xb)=x2+(ab)xab

 (axb)(cxd)=acx2+(adbc)xbd

 (xyz)2=(x2y2z2)+2(xyyzzx)
  
 基本対称式 xyxy

 ・x2y2=(xy)2−2xy
 ・(xy)2=(xy)2−4xy

 ・x3y3=(xy)3−3xy(xy)
 ・x2y2z2=(xyz)2−2(xyyzzx
 
 分母が文字の方程式

 1  2 =5では, X+2Y=5 と置き換え
 x  y

 このとき,   1 =X,   1 =Y としている。
x y
 ルートの概数語呂合わせ

 √2=1.414   √3=1.732   √5=2.236
 (一夜一夜に人見頃) (人並みにおごれや) (富士山麓オウム鳴く)

 √6=2.450   √7=2.645   √10=3.162
 (煮よ,良く良く)    (菜に虫いない)    (三色に並ぶ)
分母の有理化

 
 
  
  無理数の小数部分

 ・√5では,2<√5<3だから
    (整数部分)=2,(小数部分)=5−2

 ・√23では,4<√23<5だから
    (整数部分)=4,(小数部分)=23−4
  
 xp,qが解となる2次方程式

 a(xp)(xq)=0 (ただし,a≠0)
   したがって,ax2a(pq)xapq=0

 ・x=−2,3が解となる2次方程式は
  a(x+2)(x−3)=0 つまり,ax2ax−6a=0 
 解と係数の関係(高校内容)

 ax2bxc=0の解がxp,qのとき
  解の和 pq=−  b  ,解の積 pq  c
 a  a

 ・x2−3x+1=0では,
    解の和 pq=3,解の積 pq=1
2次方程式の共役な解

2次方程式で ,xabcが解なら
   もう1つの解は,xabc

 ・x=5+√3が解なら,他の解はx=5−√3
 ・x 1−2√3 が解なら,他の解はx 1+2√3
2 2
 x −1+√5 が解となる2次方程式
2

 両辺を2倍し,移項して,2x+1=√5

 両辺を2乗して,4x2+4x+1=5

 移項し,4で割ると,x2x−1=0 
 二重根号 (abのとき)
 
 
  ・ 3−√2
自然数の和

 1+2+3+ … +n n(n+1)
2

  ・1 〜10の和= 10×11÷2=55

  ・1〜100の和=100×101÷2=5050
xy軸の式・軸に平行な直線

 x軸の式は,y=0   y軸の式は,x=0

 x軸に平行な直線は,ya

 y軸に平行な直線は,xa 
対称点の座標 (座標平面上)

 P(x,y)とx軸対称→A( x,y)

 P(x,y)とy軸対称→B(x, y)

 P(x,y)と原点対称→C(x,y) 
 比例と反比例

 比例では商が一定で,a(比例定数)
  よって式は,yax  グラフは,原点を通る直線

 反比例では積xyが一定で,xya(比例定数)
  よって式は,ya/x グラフは原点対称の双曲線
変化の割合 (xpqのとき)

 1次関数yaxbでは,
    変化の割合=a (傾きに等しく,一定)

 2次関数yax2では,
    変化の割合=a(pq)
中点の座標 (座標平面上)

 P(a,b)とQ(c,d)の中点Mの座標は
   M( ac bd )
2 2
  ・P(1,6)とQ(7,−4)の中点は
    ( 1+7 6−4 )=(4,1)
2 2
 2点の距離 (座標平面上)

 P(a,b)とQ(c,d)の距離は

  √(ac)2+(bd)2

 ・P(1,−1)とQ(4,−5)の距離は,
   √(1−4)2+(−1+5)2=√9+16=5
  直線の式

 点P(a,b)を通り,傾きmの直線は
   ym(xa)+b

  ・P(2,3)を通り,傾き−4の直線は
    y=−4(x−2)+3で,y=−4x+11
 
 2点を通る直線

 P(a,b)とQ(c,d)を通る直線は
   y bd (xa)+b
ac
  ・P(3,6)とQ(1,−2)を通る直線は
   y 6−(−2) (x−3)+6で,y=4x−6
3−1
 2直線の平行・垂直

 yaxbycxd

   平行のとき,ac  (傾きは等しい)

   垂直のとき,ac=−1 (傾きの積は−1)
同一直線上の線分比 (座標平面上)

 AB:BC

  =(AとBのx座標の差):(BとCのx座標の差)

  =(AとBのy座標の差):(BとCのy座標の差)
等底な三角形の面積の和 (座標平面上)

ABが共通底辺のとき,

 四角形=×AB×(PとQのy座標の差)

 四角形=×AB×(PとQのx座標の差)
三角形の面積 (座標平面上)

P(a,b),Q(c,d)のとき
 △OPQ= adbc  または  bc−ad
2 2


 △OPQ=ad−(ア+イ+ウ) だから
 三角形の面積比 (座標平面上)

(右図参照)
 △ADE AD × AE
 △ABC AB AC
 = (AとDのx座標の差) × (AとEのx座標の差)
(AとBのx座標の差) (AとCのx座標の差)
グラフ上の点の座標

x座標を t とするとき,

 ・直線 yaxb上の点は (tatb)

 ・放物線 yax2上の点は (tat2)
 三角形の外角

外角=内対角の和

 外角と隣り合わない
    2つの内角の和に等しい
平行線と角

平行な補助線(赤線)を引く

 右図で,∠x=∠a+∠b
 右図で,∠y=∠b−∠a 
へこんだ四角形 (くさび形)

へこんだ角は,隣り合わない
   他の3つの内角の和に等しい

   
平行線による比

3直線 l,m,n が平行なとき,

  AB:BC=DE:EF
 
角の二等分線と比

ADが∠Aの二等分線のとき,

  AB:AC=BD:CD
 等底・等高な三角形は等積

 AB(底辺共通),PQ//AB(等高)
  ならば
    △PAB=△QAB
 等高な2つの三角形の

     面積は,底辺の比に比例

  △ABP:△ACP=BP:CP
等底な2つの三角形の

     面積は,高さの比に比例

  △PAB:△QAB=PH:QH
 
 二等辺三角形の4線

一致 ア 底辺への中線
イ 頂点からの垂線
ウ 頂角の二等分線 
エ 底辺の垂直二等分線
正三角形の4心

一致 ア 外心
イ 内心 
ウ 重心
エ 垂心
 平行四辺形の角

・対角は等しい
 ∠A=∠C,∠B=∠D
・隣角の和は180°
 ∠A+∠B=∠C+∠D=180°
 ∠A+∠D=∠B+∠C=180
中線定理

 BM=CM(AMが中線)のとき,

   AB2+AC2=2(AM2+BM2)

 
ピタゴラス数

・直角三角形の3辺 (よく出てくる長さ)



 
  

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