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平方数 　112＝121　122＝144　132＝169　142＝196 　152＝225　162＝256　172＝289　182＝324 　192＝361　252＝625   ２の累乗 　22＝4　 23＝8　 24＝16　 25＝32　 26＝64 　27＝128　 28＝256　 29＝512　 210＝1024 　　(2進法でよく使うよ) 0の割り算　(0では割れない) 　0÷1＝0 　1÷0＝解なし　　(不能)　 　0÷0＝すべての実数　(不定) 倍数の見分け方 　3の倍数＝(各位の数の和)が3の倍数 　9の倍数＝(各位の数の和)が9の倍数 　4の倍数＝(下二桁)が4の倍数 3で割ったときの数 　3で割り切れる数(3の倍数)＝3k (kは整数) 　3で割ったとき 1 余る数＝3k＋1 (kは整数) 　3で割ったとき 2 余る数＝3k＋2 (kは整数) 　 Ｎのすべての約数 　Ｎ＝ax×by×cz の約数 　・ 表し方 … (a1〜x) × (b1〜y) × (c1〜z) 　・ 個　数 … x＋1個   y＋1個   z＋1個 ・360(23×32×51)は, 4×3×2＝24個の約数がある ０と１の約数･倍数 　・１は,すべての整数の約数 　　　　⇒約数に1を入れ忘れるな！ 　　　(逆に,すべての整数は１の倍数) 　・０は,すべての整数の倍数 　　　　⇒倍数に0を入れ忘れるな！ 　　　(しかし,どの整数も０の約数ではない) 公約数と公倍数 　・すべての公約数は,最大公約数の約数 　　　12と18の最大公約数＝6 　　　12と18の 全 公約数＝1,2,3,6 　・すべての公倍数は,最小公倍数の倍数 　　　4と6の最小公倍数＝12 　　　4と6の 全 公倍数＝12,24,36,48,… 連続整数の積 　・連続２整数の積は,2で割り切れる。 　　　(２整数の中に,2の倍数が1つ含まれるから) 　　　5×6　　　　48×49 　・連続３整数の積は,3で割り切れる。 　　　(３整数の中に,3の倍数が1つ含まれるから) 　　　5×6×7　　48×49×50 比の値 たとえば 　 x ＝  y のとき，  x ＝  y ＝k とおき, 　 2  3  2  3 　x＝2k,y＝3k としてみる。 　  連比 たとえば 　x:y:z＝1:2:3 のとき，( x ＝ y ＝ z も同様) 1 2 3 　x＝k，y＝2k，z＝3k としてみる。 　  　 指数法則 　xa×xb＝xa+b　　(xa)b＝xab 　xa÷xb＝xa-b　　(xy)a＝xaya 　x0＝1 　　・x2×x5＝x2+5＝x7　・(x2）3＝x2×3＝x6 　　・x2÷x5＝x2-5＝x-3＝  1 　　・(xy)3＝x3y3  x3  乗法公式 　(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab 　(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd 　(x＋y＋z)2＝(x2＋y2＋z2)＋2(xy＋yz＋zx) 　   基本対称式 x＋y と xy 　・x2＋y2＝(x＋y)2−2xy 　・(x−y)2＝(x＋y)2−4xy 　・x3＋y3＝(x＋y)3−3xy(x＋y) 　・x2＋y2＋z2＝(x＋y＋z)2−2(xy＋yz＋zx)  　  分母が文字の方程式  1 ＋  2 ＝5では, Ｘ＋2Ｙ＝5 と置き換え  x  y 　このとき,   1 ＝Ｘ,   1 ＝Ｙ としている。 x y  ルートの概数語呂合わせ 　√2＝1.414　 　√3＝1.732　 　√5＝2.236 　(一夜一夜に人見頃)　(人並みにおごれや)　(富士山麓オウム鳴く) 　√6＝2.450　 　√7＝2.645　 　√10＝3.162 　(煮よ,良く良く)　　　　(菜に虫いない)　　　　(三色に並ぶ) 分母の有理化 　 　 　    無理数の小数部分 　・√5では，2＜√5＜3だから 　　　　(整数部分)＝2，(小数部分)＝√5−2 　・√23では，4＜√23＜5だから 　　　　(整数部分)＝4，(小数部分)＝√23−4 　   x＝p,qが解となる2次方程式 　a(x−p)(x−q)＝0　(ただし,a≠0) 　　　したがって，ax2−a(p＋q)x＋apq＝0 　・x＝−2,3が解となる2次方程式は 　　a(x＋2)(x−3)＝0 つまり,ax2−ax−6a＝0   解と係数の関係(高校内容) 　ax2＋bx＋c＝0の解がx＝p,qのとき 　　解の和 p＋q＝−  b 　，解の積 pq＝  c  a  a 　・x2−3x＋1＝0では， 　　　　解の和 p＋q＝3，解の積 pq＝1 2次方程式の共役な解 2次方程式 (係数はすべて有理数) で 　x＝a＋b√cが解なら 　　もう1つの解は,x＝a−b√c ・x＝5＋√3が解なら,他の解はx＝5−√3 ・x＝ 1−2√3 が解なら,他の解はx＝ 1＋2√3 2 2 　x＝ −1＋√5 が解となる2次方程式 2 　両辺を2倍し,移項して，2x＋1＝√5 　両辺を2乗して，4x2＋4x＋1＝5 　移項し,4で割ると，x2＋x−1＝0   二重根号　(a＞bのとき) ＝ 　 ＝ 　・ ＝ ＝√3−√2 自然数の和 　1＋2＋3＋ … ＋n＝ n(n＋1) 2 　　・1 〜10の和＝ 10×11÷2＝55 　　・1〜100の和＝100×101÷2＝5050 x軸y軸の式・軸に平行な直線 　x軸の式は，y＝0　　　y軸の式は，x＝0 　x軸に平行な直線は，y＝a 　y軸に平行な直線は，x＝a  対称点の座標 (座標平面上) 　P(x,y)とx軸対称→A( x,−y) 　P(x,y)とy軸対称→B(−x, y) 　P(x,y)と原点対称→C(−x,−y)　  比例と反比例 　比例では商が一定で，＝a(比例定数) 　　よって式は,y＝ax　　グラフは,原点を通る直線 　反比例では積xyが一定で，xy＝a(比例定数) 　　よって式は,y＝a/x　グラフは原点対称の双曲線 変化の割合 (xがp→qのとき) 　1次関数y＝ax＋bでは， 　　　　変化の割合＝a (傾きに等しく,一定) 　2次関数y＝ax2では， 　　　　変化の割合＝a(p＋q) 中点の座標 (座標平面上) 　Ｐ(a,b)とＱ(c,d)の中点Ｍの座標は 　　　Ｍ( a＋c ， b＋d ) 2 2 　　・Ｐ(1,6）とＱ(7,−4)の中点は 　　　　( 1＋7 ， 6−4 )＝(4,1) 2 2  2点の距離 (座標平面上) 　Ｐ(a,b)とＱ(c,d)の距離は 　　√(a−c)2＋（b−d)2 　・Ｐ(1,−1）とＱ(4,−5)の距離は, 　　　√(1−4)2＋(−1＋5)2＝√9＋16＝5  直線の式 　点Ｐ(a,b)を通り，傾きmの直線は 　　　y＝m(x−a)＋b 　　・Ｐ(2,3)を通り，傾き−4の直線は 　　　　y＝−4(x−2)＋3で，y＝−4x＋11 　  2点を通る直線 　Ｐ(a,b)とＱ(c,d)を通る直線は 　　 y＝ b−d (x−a)＋b a−c 　　・Ｐ(3,6)とＱ(1,−2)を通る直線は 　　　y＝ 6−(−2) (x−3)＋6で，y＝4x−6 3−1  2直線の平行・垂直 　y＝ax＋b と y＝cx＋dが 　　　平行のとき，a＝c 　(傾きは等しい) 　　　垂直のとき，ac＝−1 (傾きの積は−1) 同一直線上の線分比 (座標平面上) 　AB:BC 　　＝(AとBのx座標の差):(BとCのx座標の差) 　　＝(AとBのy座標の差):(BとCのy座標の差) 等底な三角形の面積の和 (座標平面上) ABが共通底辺のとき， 　四角形APBQ＝×AB 　　　×(PとQのy座標の差) 　四角形APBQ＝×AB 　　　×(PとQのx座標の差) 三角形の面積 (座標平面上) Ｐ(a,b)，Ｑ(c,d)のとき 　△OPQ＝ ad−bc 　または　 bc−ad 2 2 　△OPQ＝ad−(ア＋イ＋ウ) だから  三角形の面積比 (座標平面上) (右図参照) 　△ADE ＝ AD × AE 　△ABC AB AC 　＝ （AとDのx座標の差) × （AとEのx座標の差) （AとBのx座標の差) （AとCのx座標の差) グラフ上の点の座標 x座標を t とするとき， 　・直線 y＝ax＋b上の点は (t，at＋b) 　・放物線 y＝ax2上の点は (t，at2)  三角形の外角 外角＝内対角の和 　外角と隣り合わない 　　　　２つの内角の和に等しい 平行線と角 平行な補助線(赤線)を引く 　右図で，∠x＝∠a＋∠b 　右図で，∠y＝∠b−∠a  へこんだ四角形 (くさび形) へこんだ角は，隣り合わない 　　　他の３つの内角の和に等しい 　　  平行線による比 3直線 l,m,n が平行なとき， 　　AB：BC＝DE：EF 　 角の二等分線と比 ADが∠Aの二等分線のとき， 　　AB：AC＝BD：CD  等底・等高な三角形は等積 　AB(底辺共通)， 　PQ//AB（等高） 　　　　ならば 　△PAB＝△QAB(等積)  等高な2つの三角形の 　　　　　面積は，底辺の比に比例 　　△ABP：△ACP＝BP：CP 等底な2つの三角形の 　　　　　面積は，高さの比に比例 　　△PAB：△QAB＝PH：QH    二等辺三角形の４線 一致 ア 底辺への中線 イ 頂点からの垂線 ウ 頂角の二等分線  エ 底辺の垂直二等分線 正三角形の４心 一致 ア 外心 イ 内心　 ウ 重心 エ 垂心  平行四辺形の角 ・対角は等しい 　∠A＝∠C，∠B＝∠D ・隣角の和は180° 　∠A＋∠B＝∠C＋∠D＝180° 　∠A＋∠D＝∠B＋∠C＝180 中線定理 　BM＝CM（AMが中線）のとき， 　　　AB2＋AC2＝2(AM2＋BM2) 　 ピタゴラス数 ・直角三角形の3辺 (よく出てくる長さ) 　 3つの直角三角形 ・△ABC∽△ACH∽△CBH ・a:b:c＝h:x:b＝y:h:a ・ab＝ch＝2△ABC 　 　 円すい台 ・高さは, h＝(大きい円すいの高さ)× b−a b ・体積は,Ｖ＝（大きい円すいの体積)× b3−a3 b3 三角すいの体積比 　三角すいO-PQR ＝ p × q × r 　三角すいO-ABC a b c 　 正三角形 ・高さは　h＝ ・面積は　S＝ 　正四面体 ・高さはh＝ ・体積はV＝ ( 立方体から,4つの 三角すいを切り取る ) 立方体の切断(3点を通る平面で) 3つの原則 　ア　同一平面上の2点は、直線で結ぶ 　イ　対面には、平行な切り口がつく 　ウ　斜め切断の場合は、 　　　　延長して大きな三角すいを 切断三角柱の体積 ・体積Ｖ＝(底面積)× a＋b＋c 3 　　　＝(底面積)×(高さの平均) 　 余事象の定理 　　P(A)＝1−P(A) 事柄Aが起こらない確率＝1−(事柄Aが起こる確率) (例) 偶数の確率＝1−奇数の確率 (例) 赤玉が少なくても1つ出る確率 　　　　＝1−(赤玉が全く出ない確率)

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