 
|
 平方数
112＝121 122＝144 132＝169 142＝196
152＝225 162＝256 172＝289 182＝324
192＝361 252＝625 |
 ２の累乗
22＝4 23＝8 24＝16 25＝32 26＝64
27＝128 28＝256 29＝512 210＝1024
(2進法でよく使うよ) |
 0の割り算 (0では割れない)
0÷1＝0
1÷0＝解なし (不能)
0÷0＝すべての実数 (不定) |
 倍数の見分け方
3の倍数＝(各位の数の和)が3の倍数
9の倍数＝(各位の数の和)が9の倍数
4の倍数＝(下二桁)が4の倍数 |
 3で割ったときの数
3で割り切れる数(3の倍数)＝3k (kは整数)
3で割ったとき 1 余る数＝3k＋1 (kは整数)
3で割ったとき 2 余る数＝3k＋2 (kは整数)
|
 Ｎのすべての約数
Ｎ＝ax×by×cz の約数
| ・ 表し方 … |
(a1〜x) |
× |
(b1〜y) |
× |
(c1〜z) |
| ・ 個 数 … |
x＋1個 |
|
y＋1個 |
|
z＋1個 |
・360(23×32×51)は, 4×3×2＝24個の約数がある |
 ０と１の約数･倍数
・１は,すべての整数の約数
⇒約数に1を入れ忘れるな！
(逆に,すべての整数は１の倍数)
・０は,すべての整数の倍数
⇒倍数に0を入れ忘れるな！
(しかし,どの整数も０の約数ではない) |
 公約数と公倍数
・すべての公約数は,最大公約数の約数
12と18の最大公約数＝6
12と18の 全 公約数＝1,2,3,6
・すべての公倍数は,最小公倍数の倍数
4と6の最小公倍数＝12
4と6の 全 公倍数＝12,24,36,48,… |
 連続整数の積
・連続２整数の積は,2で割り切れる。
(２整数の中に,2の倍数が1つ含まれるから)
5×6 48×49
・連続３整数の積は,3で割り切れる。
(３整数の中に,3の倍数が1つ含まれるから)
5×6×7 48×49×50 |
 比の値
たとえば
| x |
＝ |
y |
のとき， |
x |
＝ |
y |
＝k とおき, |
| 2 |
3 |
2 |
3 |
x＝2k,y＝3k としてみる。
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 連比
たとえば
| x:y:z＝1:2:3 のとき，( |
x |
＝ |
y |
＝ |
z |
も同様) |
| 1 |
2 |
3 |
x＝k，y＝2k，z＝3k としてみる。
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 指数法則
xa×xb＝xa+b (xa)b＝xab
xa÷xb＝xa-b (xy)a＝xaya
x0＝1
・x2×x5＝x2+5＝x7 ・(x2)3＝x2×3＝x6
| ・x2÷x5＝x2-5＝x-3＝ |
1 |
・(xy)3＝x3y3 |
| x3 |
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 乗法公式
(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab
(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd
(x＋y＋z)2＝(x2＋y2＋z2)＋2(xy＋yz＋zx)
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 基本対称式 x＋y と xy
・x2＋y2＝(x＋y)2−2xy
・(x−y)2＝(x＋y)2−4xy
・x3＋y3＝(x＋y)3−3xy(x＋y)
・x2＋y2＋z2＝(x＋y＋z)2−2(xy＋yz＋zx) |
 分母が文字の方程式
| 1 |
＋ |
2 |
＝5では, Ｘ＋2Ｙ＝5 と置き換え |
| x |
y |
| このとき, |
1 |
＝Ｘ, |
1 |
＝Ｙ としている。 |
| x |
y |
|
 ルートの概数語呂合わせ
√2＝1.414 √3＝1.732 √5＝2.236
(一夜一夜に人見頃) (人並みにおごれや) (富士山麓オウム鳴く)
√6＝2.450 √7＝2.645 √10＝3.162
(煮よ,良く良く) (菜に虫いない) (三色に並ぶ) |
 分母の有理化
 |
 無理数の小数部分
・√5では，2＜√5＜3だから
(整数部分)＝2，(小数部分)＝√5−2
・√23では，4＜√23＜5だから
(整数部分)＝4，(小数部分)＝√23−4 |
 x＝p,qが解となる2次方程式
a(x−p)(x−q)＝0 (ただし,a≠0)
したがって，ax2−a(p＋q)x＋apq＝0
・x＝−2,3が解となる2次方程式は
a(x＋2)(x−3)＝0 つまり,ax2−ax−6a＝0 |
 解と係数の関係(高校内容)
ax2＋bx＋c＝0の解がx＝p,qのとき
| 解の和 p＋q＝− |
b |
，解の積 pq＝ |
c |
| a |
a |
・x2−3x＋1＝0では，
解の和 p＋q＝3，解の積 pq＝1 |
 2次方程式の共役な解
2次方程式 (係数はすべて有理数) で
x＝a＋b√cが解なら
もう1つの解は,x＝a−b√c
・x＝5＋√3が解なら,他の解はx＝5−√3
| ・x＝ |
1−2√3 |
が解なら,他の解はx＝ |
1＋2√3 |
| 2 |
2 |
|
 |
x＝ |
−1＋√5 |
が解となる2次方程式 |
| 2 |
両辺を2倍し,移項して，2x＋1＝√5
両辺を2乗して，4x2＋4x＋1＝5
移項し,4で割ると，x2＋x−1＝0 |
 二重根号 (a＞bのとき)
| ・ |
 |
＝ |
 |
＝√3−√2 |
|
 自然数の和
・1 〜10の和＝ 10×11÷2＝55
・1〜100の和＝100×101÷2＝5050 |
 x軸y軸の式・軸に平行な直線
x軸の式は，y＝0 y軸の式は，x＝0
x軸に平行な直線は，y＝a
y軸に平行な直線は，x＝a |
 対称点の座標 (座標平面上)
P(x,y)とx軸対称→A( x,−y)
P(x,y)とy軸対称→B(−x, y)
P(x,y)と原点対称→C(−x,−y) |
 比例と反比例
比例では商 が一定で，＝a(比例定数)
よって式は,y＝ax グラフは,原点を通る直線
反比例では積xyが一定で，xy＝a(比例定数)
よって式は,y＝a/x グラフは原点対称の双曲線 |
 変化の割合 (xがp→qのとき)
1次関数y＝ax＋bでは，
変化の割合＝a (傾きに等しく,一定)
2次関数y＝ax2では，
変化の割合＝a(p＋q) |
 中点の座標 (座標平面上)
 Ｐ(a,b)とＱ(c,d)の中点Ｍの座標は
・Ｐ(1,6）とＱ(7,−4)の中点は
|
 2点の距離 (座標平面上)
 Ｐ(a,b)とＱ(c,d)の距離は
√(a−c)2＋（b−d)2
・Ｐ(1,−1）とＱ(4,−5)の距離は,
√(1−4)2＋(−1＋5)2＝√9＋16＝5 |
 直線の式
 点Ｐ(a,b)を通り，傾きmの直線は
y＝m(x−a)＋b
・Ｐ(2,3)を通り，傾き−4の直線は
y＝−4(x−2)＋3で，y＝−4x＋11
|
 2点を通る直線
Ｐ(a,b)とＱ(c,d)を通る直線は
・Ｐ(3,6)とＱ(1,−2)を通る直線は
| y＝ |
6−(−2) |
(x−3)＋6で，y＝4x−6 |
| 3−1 |
|
 2直線の平行・垂直
y＝ax＋b と y＝cx＋dが
平行のとき，a＝c (傾きは等しい)
垂直のとき，ac＝−1 (傾きの積は−1) |
 同一直線上の線分比 (座標平面上)
AB:BC
＝(AとBのx座標の差):(BとCのx座標の差)
＝(AとBのy座標の差):(BとCのy座標の差) |
 等底な三角形の面積の和 (座標平面上)
ABが共通底辺のとき，
四角形APBQ＝ ×AB
×(PとQのy座標の差)
四角形APBQ＝×AB
×(PとQのx座標の差) |
 三角形の面積 (座標平面上)
Ｐ(a,b)，Ｑ(c,d)のとき
| △OPQ＝ |
ad−bc |
または |
bc−ad |
| 2 |
2 |
△OPQ＝ad−(ア＋イ＋ウ) だから |
  三角形の面積比 (座標平面上)
(右図参照)
| △ADE |
＝ |
AD |
× |
AE |
| △ABC |
AB |
AC |
| ＝ |
（AとDのx座標の差) |
× |
（AとEのx座標の差) |
| （AとBのx座標の差) |
（AとCのx座標の差) |
|
  グラフ上の点の座標
x座標を t とするとき，
・直線 y＝ax＋b上の点は (t,at＋b)
・放物線 y＝ax2上の点は (t,at2) |
 三角形の外角
外角＝内対角の和
外角と隣り合わない
２つの内角の和に等しい |
 平行線と角
平行な補助線(赤線)を引く
右図で，∠x＝∠a＋∠b
右図で，∠y＝∠b−∠a |
 へこんだ四角形 (くさび形)
へこんだ角は，隣り合わない
他の３つの内角の和に等しい |
 平行線による比
3直線 l,m,n が平行なとき，
AB：BC＝DE：EF |
