トップに戻る

 
      覚えていると得するよ
 
平方数

 112=121 122=144 132=169 142=196

 152=225 162=256 172=289 182=324

 192=361 252=625
  2の累乗

 22=4  23=8  24=16  25=32  26=64

 27=128  28=256  29=512  210=1024

  (2進法でよく使うよ)
0の割り算 (0では割れない)

 0÷1=0

 1÷0=解なし  (不能) 

 0÷0=すべての実数 (不定)
倍数の見分け方

 3の倍数=(各位の数の和)が3の倍数

 9の倍数=(各位の数の和)が9の倍数

 4の倍数=(下二桁)が4の倍数
3で割ったときの数

 3で割り切れる数(3の倍数)=3k (kは整数)

 3で割ったとき 1 余る数=3k+1 (kは整数)

 3で割ったとき 2 余る数=3k+2 (kは整数)

 
Nのすべての約数

 N=ax×by×cz の約数

 ・ 表し方 … (a1〜x) × (b1〜y) × (c1〜z)
 ・ 個 数 … x+1   y+1   z+1

・360(23×32×51)は, 4×3×2=24個の約数がある
0と1の約数・倍数

 ・1は,すべての整数の約数
    ⇒約数に1を入れ忘れるな!
   (逆に,すべての整数は1の倍数)

 ・0は,すべての整数の倍数
    ⇒倍数に0を入れ忘れるな!
   (しかし,どの整数も0の約数ではない)
公約数と公倍数

 ・すべての公約数は,最大公約数の約数
   12と18の最大公約数=6
   12と18の 全 公約数=1,2,3,6

 ・すべての公倍数は,最小公倍数の倍数
   4と6の最小公倍数=12
   4と6の 全 公倍数=12,24,36,48,…
連続整数の積

 ・連続2整数の積は,2で割り切れる。
   (2整数の中に,2の倍数が1つ含まれるから)
   5×6    48×49
 ・連続3整数の積は,3で割り切れる。
   (3整数の中に,3の倍数が1つ含まれるから)
   5×6×7  48×49×50
比の値

たとえば
  x  y のとき,  x  y k とおき,
  2  3  2  3

 x2k,y3k としてみる。
 
 連比

たとえば
 x:y:z=1:2:3 のとき,( x y z も同様)
1 2 3

 xky2kz3k としてみる。
  
指数法則

 xa×xbxa+b  (xa)bxab
 xa÷xbxa-b  (xy)axaya
 x0=1
  ・x2×x5x2+5x7 ・(x23x2×3x6
  ・x2÷x5x2-5x-3  1   ・(xy)3x3y3 
x3
 乗法公式

 (xa)(xb)=x2+(ab)xab

 (axb)(cxd)=acx2+(adbc)xbd

 (xyz)2=(x2y2z2)+2(xyyzzx)
  
 基本対称式 xyxy

 ・x2y2=(xy)2−2xy
 ・(xy)2=(xy)2−4xy

 ・x3y3=(xy)3−3xy(xy)
 ・x2y2z2=(xyz)2−2(xyyzzx
 
 分母が文字の方程式

 1  2 =5では, X+2Y=5 と置き換え
 x  y

 このとき,   1 =X,   1 =Y としている。
x y
 ルートの概数語呂合わせ

 √2=1.414   √3=1.732   √5=2.236
 (一夜一夜に人見頃) (人並みにおごれや) (富士山麓オウム鳴く)

 √6=2.450   √7=2.645   √10=3.162
 (煮よ,良く良く)    (菜に虫いない)    (三色に並ぶ)
分母の有理化

 
 
 
  無理数の小数部分

 ・√5では,2<√5<3だから
    (整数部分)=2,(小数部分)=5−2

 ・√23では,4<√23<5だから
    (整数部分)=4,(小数部分)=23−4
  
 xp,qが解となる2次方程式
一般形 a(xp)(xq)=0 (ただし,a≠0)
  したがって,ax2a(pq)xapq=0
x=−2,3 が解となる2次方程式は
 a(x+2)(x−3)=0 つまり,ax2ax−6a=0
  たとえばa=1のとき,x2x−6=0
 解と係数の関係(高校内容)
ax2bxc=0の解がxp,qのとき
  解の和 pq=−  b  ,解の積 pq  c
 a  a
x2−3x+1=0では,
    解の和 pq=3,解の積 pq=1
2次方程式の共役な解

2次方程式 (係数はすべて有理数) で
 xabcが解なら
  もう1つの解は,xabc
x=5+√3が解なら,他の解はx=5−√3
x 1−2√3 が解なら,他の解はx 1+2√3
2 2
 x −1+√5 が解となる2次方程式
2

 両辺を2倍し,移項して,2x+1=√5

 両辺を2乗して,4x2+4x+1=5

 移項し,4で割ると,x2x−1=0 
 二重根号 (abのとき)
 
 ・ 3−√2
自然数の和
1+2+3+ … +n n(n+1)
2
 ・1 〜 10の和= 10× 11÷2= 55
 ・1〜100の和=100×101÷2=5050
xy軸の式・軸に平行な直線
x軸の式は,y=0
y軸の式は,x=0
x軸に平行な直線は,ya
y軸に平行な直線は,xa 
対称点の座標 (座標平面上)

P(x,y)とx軸対称→A( x,y)
P(x,y)とy軸対称→B(x, y)
P(x,y)と原点対称→C(x,y) 
 比例と反比例
比例では商が一定で,a(比例定数)
 よって式は,yax  グラフは,原点を通る直線
反比例では積xyが一定で,xya(比例定数)
 よって式は,ya/x グラフは原点対称の双曲線
変化の割合 (xpqのとき)
1次関数yaxbでは,
  変化の割合=a (傾きに等しく,一定)
2次関数yax2では,
  変化の割合=a(pq)
中点の座標 (座標平面上)
P(a,b)とQ(c,d)の中点Mの座標は
  M( ac bd )
2 2
・P(1,6)とQ(7,−4)の中点は
  ( 1+7 6−4 )=(4,1)
2 2
 2点の距離 (座標平面上)
P(a,b)とQ(c,d)の距離は
 √(ac)2+(bd)2

・P(1,−1)とQ(4,−5)の距離は,
 √(1−4)2+(−1+5)2=√9+16=5
 直線の式

点P(a,b)を通り,傾きmの直線は
  ym(xa)+b
・P(2,3)を通り,傾き−4の直線は
  y=−4(x−2)+3で,y=−4x+11
2点を通る直線
P(a,b)とQ(c,d)を通る直線は
  y bd (xa)+b
ac
・P(3,6)とQ(1,−2)を通る直線は
  y 6−(−2) (x−3)+6で,y=4x−6
3−1
 2直線の平行・垂直

yaxbycxd
 平行のとき,ac  (傾きは等しい)
 垂直のとき,ac=−1 (傾きの積は−1)
同一直線上の線分比
     (座標平面上)
AB:BC
 =(AとBのx座標の差):(BとCのx座標の差)
 =(AとBのy座標の差):(BとCのy座標の差)
等底な三角形の面積の和 (座標平面上)

ABが共通底辺のとき,
 四角形APBQ=×AB
   ×(PとQのy座標の差)
 四角形APBQ=×AB
   ×(PとQのx座標の差)
三角形の面積 (座標平面上)

P(a,b),Q(c,d)のとき
 △OPQ= adbc  または  bc−ad
2 2

 △OPQ=ad−(ア+イ+ウ) だから
 三角形の面積比 (座標平面上)

 △ADE AD × AE
 △ABC AB AC
 = (AとDのx座標の差) × (AとEのx座標の差)
(AとBのx座標の差) (AとCのx座標の差)
グラフ上の点の座標

x座標を t とするとき,

 ・直線 yaxb上の点は (tatb)
 ・放物線 yax2上の点は (tat2)
 三角形の外角

外角=内対角の和
 外角と隣り合わない
    2つの内角の和に等しい
平行線と角

平行な補助線(赤線)を引く
 右図で,∠x=∠a+∠b
 右図で,∠y=∠b−∠a 
へこんだ四角形 (くさび形)

へこんだ角は,
  他の3つの内角の和に等しい
 
平行線による比

3直線 l,m,n が平行なとき,
  AB:BC=DE:EF
角の二等分線と比

ADが∠Aの二等分線のとき,

  AB:AC=BD:CD
 等底・等高な三角形は等積
 AB(底辺共通),
 PQ//AB(等高)
    ならば
 △PAB=△QAB(等積)
 等高な三角形の面積比
等高な2つの三角形の
 面積は,底辺の比に比例

 △ABP:△ACP=BP:CP
等底な三角形の面積比
等底な2つの三角形の
 面積は,高さの比に比例

 △PAB:△QAB=PH:QH
 二等辺三角形の4線
一致 ア 底辺への中線
イ 頂点からの垂線
ウ 頂角の二等分線 
エ 底辺の垂直二等分線
正三角形の4心
一致 ア 外心   
イ 内心
ウ 重心
エ 垂心
 平行四辺形の角
・対角は等しい
 ∠A=∠C,∠B=∠D
・隣角の和は180°
 ∠A+∠B=∠C+∠D=180°
 ∠A+∠D=∠B+∠C=180
中線定理

 BM=CM(AMが中線)のとき,
   AB2+AC2=2(AM2+BM2)
 
ピタゴラス数

・直角三角形の3辺 (よく出てくる長さ)


 
3つの直角三角形

・△ABC∽△ACH∽△CBH
a:b:ch:x:by:h:a
abch=2△ABC
台形の二等分線

 (上底の中点M)と(下底の中点N)
 の中点Pを通る直線で二等分できる
平行四辺形の二等分線

 2本の対角線の交点Pを
  通る直線で二等分できる
円に内接する四角形(高校内容)

・外角=内対角
  ∠DCT(∠Cの外角)=∠A
・対角の和は180°
  ∠A+∠C=180°
接弦定理(高校内容)

接線と弦のなす角=弦の円周角

 ∠BAT(接弦角)=∠APB(円周角)
弦のなす角

 ∠x=(の円周角)+(の円周角)

 ∠y=(の円周角)−(の円周角)
内接円の半径と三角形

三角形の面積=×(3辺の和)×(半径)

 △ABC=(abc)r
円に外接する四角形(高校内容)

ABCDが円に外接するとき,
  2組の対辺の和は等しい

 AB+CD=BC+DA
円周上にできる相似三角形

・交点Pが円の内部
  △PAB∽△PDC,△PAD∽△PBC
・交点Pが円の外部
  △PAB∽△PCD,△PAC∽△PBD
正三角形
1辺aの正三角形では
・高さは h
・面積は S=
3辺 (a,b,c) から 高さ h

h2c2x2b2−(ax)2より
 ・
 ・
正四面体
1辺aの正四面体では
・高さはh
・体積はV= ( 立方体から,4つの
三角すいを切り取る
)
円すい台
半径が上底a下底bの円すい台では
・高さは, h(大きい円すいの高さ)× ba
b
・体積は,V=(大きい円すいの体積)× b3a3
b3
角を共有する三角形の面積比(高校内容)

 △ADE AD × AE
 △ABC AB AC
三角すいの体積比

 三角すいO-PQR p × q × r
 三角すいO-ABC a b c

 トップに戻る