1 数と式
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 9 式の値3 (解答)
東大寺学園高校 (H30年) ★ 西大和学園高校 (H30年) ★★★
 x=2√2−√3,y=−√2+2√3のとき,
2x2+5xy+2y2 の値を求めよ。
【解】xy=√23だから,
与式=2(xy)2xy
 =2(√23)2+(2√2−√3)(−√2+2√3)
 =2(5+2√6)+(5√6−10)=9√6
   のとき,  の値を求めよ。
【解】比の値をkとおく
  kとおくと,x=2k,y=3k,z=4k …ア
アを与式に代入すると,
 与式=  (2k)2+(3k)2+(4k)2 .
2k・3k+3k・4k+4k・2k
 = 4k2+9k2+16k2 29k2 29
6k2+12k2+8k2 26k2 26
【別解】条件に合う数を適当に決めてみる。
x=2,y=3,z=4 …イ のとき,   =1 
 となって条件に合う。
イを与式に代入して,
 与式=  22+3242 . 4+9+16 29
2・3+3・4+4・2 6+12+8 26
城北高校 (H30年)★★
 (a+1)(b+1)=7,(a−1)(b−1)=−1のとき,
(a+2)(b+2) の値を求めよ。
【解】基本対称式 abab で表す
アより,abab=6  …ア'
イより,abab=−2 …イ'
ア'+イ'より,2ab=4で,ab=2 …ウ
ア'−イ'より,2a+2b=8で,ab=4 …エ
よってウ,エより,
 与式=ab+2(ab)+4=2+2×4+4= 14
明治大付属明治高校 (H28年) ★ 慶應義塾高校 (H29年) ★★★
 a,bが2つの関係 ab−3ab=5 …ア
2a+2bab=3 …イ
を満たすとき,a2b2=[  ]である。

【解】

ア+イ×3より,
 7a+7b=14で,ab=2 …ウ
ア×2−イより,
 −7ab=7で,ab=−1 …エ
ウ,エより,
 与式=(ab)2−2ab=22−2×(−1)
  =4+2= 6
【解】 前後2つに分けてみよう。
前の2項は,
 (x−3)(x−4)(x−5)+(x+3)(x+4)(x−5)
  =(x−5){(x−3)(x−4)+(x+3)(x+4)}
  =(x−5){(x2−7x+12)+(x2+7x+12)}
  =2(x−5)(x2+12) …ア
後の2項は,
 (x+3)(x−4)(x+5)+(x−3)(x+4)(x+5)
 =(x+5){(x+3)(x−4)+(x−3)(x+4)}
 =(x+5){(x2x−12)+(x2x−12)}
 =2(x+5)(x2−12) …イ
ア+イより,
与式=2{(x−5)(x2+12)+(x+5)(x2−12)}
 =2{(x3−5x2+12x−60)
    +(x3+5x2−12x−60)}
 =4(x3−60)=4×( )3−240
 =4× 125 −240= 125−480 355
8 2
【別解】 次の公式を利用する方法もある。
(xa)(xb)(xc)
 =x3+(abc)x2+(abbcca)xabc  
慶應義塾高校 (H30年) ★
 x=121,y=131のとき,
x2xy−2x+2yの値は[  ]となる。

【解】因数分解してから代入

与式=x(xy)−2(xy)=(xy)(x−2)
 =(121−131)(121−2)=−10×119= −1190

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