1 数 式
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21 二次方程式3 (解答)
 1  明治大付属明治高校 (H29年) ★★  3  中央大杉並高校 (H29年) ★

 x2axb=0 …ア の2解から1を引いて2倍した数が,x2−6x+4=0 …イ の2つの解になっている。
 このとき,a=[ ],b=[ ]である。


【解】

アを解の公式を使って解くと,x=3±√5

1を引いて2倍の逆で,2で割って1を加えると,

 x 3±√5 +1= 5±√5  …ウ
2 2

ウが解となる方程式は,(x 5+√5 )(x 5−√5 )=0

展開すると,x2−5x+5=0

 係数を比較して,a=[−5],b=[ 5 ]

 xは 方程式 x2−5x+3=0 …ア を満たす小さい方の数とします。
このとき, x(x+√13) …イ の値を求めなさい。
x2−5x+9


【解】

解の公式でアを解くと,
 小さい方だから,x 5−√13  …ウ
2

ウより,イの分子=x(x+√13)
 = 5−√13 × 5+√13 12 =3 …エ
2 2  4

アより,x2−5x=−3だから,
 イの分母=(x2−5x)+9=−3+9=6 …オ

よって,イ=  エ  3  1
 オ  6  2
福岡大附属大濠高校 (H29年) ★ 慶應義塾志木高校 (H28年)★★★

 2次方程式 (x+3)2+(x+3)(x−1)=1 …ア

の2つの解の差の2乗は[  ]である。


【解】

アを展開して整理すると,2x2+6x−1=0 …イ

解の公式より,x −3±√11
2

よって,( −3+√11 −3+√11 )2=(√11)211
2 2



【別解】 解と係数の関係(高校)を利用
イの2つの解をα,βとすると,
 α+β=−3,αβ=−1/2 …ウ

よって,(α−β)2=(α+β)2−4αβ
 =(−3)2−4×(−1/2)=9+2= 11 

 2次方程式 x2axb=0 の2つの解にそれぞれ3を足したものは,2次方程式 x2bxa=0 の解になるという。
 定数abの値を求めよ。


【解】 元の解をpqとしてみる。

x2axb=(xp)(xq)=0より,
 a=−(pq)…ア
 bpq…イ

x2bxa={x−(p+3)}{x−(q+3)}=0より,
 b=−(p+3)−(q+3)=−(pq)−6…ウ
 a=(p+3)(q+3)=pq+3(pq)+9…エ

ア,イをウ,エに代入すると,
 ab−3a+9で,4ab=9…オ
 ba−6で,ab=6…カ

オ−カより,3a=3で,a=1
 これをカに代入して,1−b=6で,b=−5
 a=1,b=−5

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