1 数 式
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21 二次方程式3 (解答)
 1  明治大付属明治高校 (H29年) ★★  3  中央大杉並高校 (H29年) ★
 x2axb=0 …ア の2解から1を引いて2倍した数が,x2−6x+4=0 …イ の2つの解になっている。
 このとき,a=[ ],b=[ ]である。


【解】

アを解の公式を使って解くと,x=3±√5

1を引いて2倍の逆で,2で割って1を加えると,
 x 3±√5 +1= 5±√5  …ウ
2 2

ウが解となる方程式は,(x 5+√5 )(x 5−√5 )=0

展開すると,x2−5x+5=0
 係数を比較して,a=[−5],b=[ 5 ]
 xは方程式 x2−5x+3=0…ア を満たす小さい方の数とします。このとき,次の式の値を求めなさい。
 x(x+√13)  …イ
 x2−5x+9


【解】
解の公式でアを解くと,
 小さい方だから,x 5−√13  …ウ
2
ウより,イの分子=x(x+√13)
 = 5−√13 × 5+√13 12 =3 …エ
2 2  4
アより,x2−5x=−3だから,
 イの分母=(x2−5x)+9=−3+9=6 …オ
よって,イ=  エ  3  1
 オ  6  2
福岡大附属大濠高校 (H29年) ★ 慶應義塾志木高校 (H28年) ★★★
 2次方程式 (x+3)2+(x+3)(x−1)=1…ア の2つの解の差の2乗は[  ]である。


【解】

アを展開して整理すると,2x2+6x−1=0 …イ

解の公式より,x −3±√11
2

よって,( −3+√11 −3+√11 )2=(√11)211
2 2


【別解】 解と係数の関係(高校)を利用
イの2つの解をα,βとすると,
 α+β=−3,αβ=−…ウ
よって,(α−β)2=(α+β)2−4αβ
 =(−3)2−4×(−)=9+2= 11 
 2次方程式 x2axb=0 の2つの解にそれぞれ3を足したものは,2次方程式 x2bxa=0 の解になるという。定数a,bの値を求めよ。

【解】元の解をp,qとしてみる。

x2axb=(xp)(xq)=0より,
 a=−(pq)…ア
 bpq…イ

x2bxa={x−(p+3)}{x−(q+3)}=0より,
 b=−(p+3)−(q+3)=−(pq)−6…ウ
 a=(p+3)(q+3)=pq+3(pq)+9…エ

ア,イをウ,エに代入すると,
 ab−3a+9で,4ab=9…オ
 ba−6で,ab=6…カ

オ−カより,3a=3で, a=1
 これをカに代入して,1−b=6で, b=−5

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