1 数 式
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22 数の性質1 (解答)
 1  久留米大附設高校 (H29年) ★★  3  慶應義塾高校 (H29年) ★★

 2697を素因数分解するとa×b×cとなる。ただし,a,b,cは素数で,abcを満たす。
 このとき,a,b を求めよ。


【解】

各位の和 2+6+9+7=24 が3の倍数だから
 2697も3の倍数で,2697=3×899

899=900−1=(30+1)(30−1)=31×29
 31,29はともに素数

2697=3×29×31より,a=3,b=29
 

 999975 を素因数分解せよ。


【解】公式を利用して,まず2つに分解してみよう。

999975=1000000−25=10002−52

 =(1000+5)(1000−5)=1005×995

ここで,1005=3×5×67,995=5×199

よって,999975=(3×5×67)×(5×199)

 =3×52×67×199
 
慶應義塾志木高校 (H29年) ★★ 法政大高校 (H29年)★★★

   1  1  1  を満たす自然数m,n (mn)
  m n  7
を求めよ。



【解】

分母を払うと,7n+7mmn

移項して,両辺に49を加えると,
 mn
−7m−7n+49=0+49
 積の形ができて,(m−7)(n−7)=49

自然数解を考えると,
 (m−7,n−7)=(1,49) (7,7) (49,1)

mnだから,
 (m−7,n−7)=(1,49) しか条件にあわない。

よって,m=1+7=8n=49+7=56







 

 33で割ると21余り,45で割り切れる自然数のうち,最小のものを求めなさい。



【解】 求める自然数をxとすると,

x÷33=a余り21(aは商)より,x=33a+21…ア

x÷45=b余り0(bは商)より,x=45b …イ

ア=イより,15b=11a+7 …ウ

ウの整数解を探してみよう。

b 11a+7 =(a+1)+ −4a−8 =(a+1)− 4(a+2)
15 15 15

ここで,4と15は互いに素だから,a+2は15の倍数

a+2=15kkは自然数)とおくと,

 b (a+1)− 4(a+2) =(15k−1)−4k=11k−1
15

最小のk=1を代入して,b=11×1−1=10

よって,x=45×10=450
 

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