数と式 ２２　二次方程式４　（解答）　　
それぞれの値を求めなさい。  
１ 大阪教育大附属平野校舎　（Ｒ５年）　★★ ６ 東京工大科技高校　（Ｒ５年）　★★
　x2−5x＋3＝0 …ア の2つの解をa,bとするとき,＋の値
【解】係数比較
(x−a)(x−b)＝x2−(a＋b)x＋ab＝0 …イ
アとイの係数を比較して,a＋b＝5,ab＝3
よって,与式＝ a＋b ＝ 5
ab 3
　2x2−(a＋b)x＋(a−b)＝0 …ア の解が−2と3であるとき,定数a, bの値
【解】係数比較
2(x＋2)(x−3)＝2x2−2x−12＝0 …イ
アとイの係数を比較して,a＋b＝2,a−b＝−12
　これを連立させて解くと, a＝−5, b＝7
２ 東洋大京北高校　（Ｒ５年）　★★ ７ 中央大杉並高校　（Ｒ５年）　★★
　xについての2次方程式 x2−(3k−1)x＋6＝0の1つの解がx＝kのとき, kの値
【解】解を方程式に代入
x＝kを代入して, k2−(3k−1)k＋6＝0
　−2k2＋k＋6＝0
　(2k＋3)(k−2)＝0より, k＝−, 2		 　x2−6x＋4−0…ア の解とy2−14y＋44＝0…イ の解を組み合わせて,x−yが有理数になるときの値
【解】
アより, x＝3±√5, イより, y＝7±√5
有理数になる(√5が消える)のは,複合同順のときで,
　x−y＝(3±√5)−(7±√5)＝−4
３ 巣鴨高校　（Ｒ５年）　★★ ８ 桐光学園高校　（Ｒ５年）　★★
　x2＋ax＋b＝0…ア　　2x2＋3ax＋4b＝0…イ
　x2−2x−3＝0…ウが同じ正の解のとき, 定数 a, b
【解】ウより,(x−3)(x＋1)＝0で,x＞0だから, x＝3…エ
エをアイに代入して, 9＋3a＋b＝0
18＋9a＋4b＝0
　これを解いて, a＝−6, b＝9		 　x2＋ax＋b＝0…ア の2つの解にそれぞれ1を加えた数が,x2＋x−12＝0…イの解となるとき, 定数 a, bの値
【解】アを解くと,(x＋4)(x−3)＝0より,x＝−4,3
イの解はx＝−5とx＝2
　(x＋5)(x−2)＝x2＋3x−10＝x2＋ax＋b
係数を比較して, a＝3, b＝−10
４ 西大和学園高校　（Ｒ５年）　★★★ ９ 灘　高校　（Ｒ５年）　★★★
　 aを正の定数とする。xの2次方程式 x2−ax＋1＝0 の2 つの解の差がであるとき,定数aの値
【解】解と係数の関係
2つの解をp,qとすると,
(x−p)(x−q)＝x2−(p＋q)x＋pq＝x2−ax＋1
　p＋q＝a…ア　pq＝1…イ　p−q＝…ウ
(p＋q)2＝(p−q)2−4pqより,
　a2＝−4＝25/4で, a＞0だから, a＝		 　xの方程式 x2＋x−n＋1＝0 が整数解をもつような整数nのうち, n−2023の絶対値が最も小さいものは[　]
【解】当てはめて探す
解の公式より,x＝ −1±√4n−3 　(整数)
2
　√4n−3＝2k−1　(奇数になればよいから)
　これを解いて, n＝k2−k＋1 (k
n−2023＝k2−k−2022＝k(k−1)−2022
　連続数の積k(k−1)が2022に近ければよい
・k＝45のとき,45×44−2022＝−42
・k＝46のとき,46×45−2022＝48
　よって, k＝45のときで, n＝1980＋1＝1981　
　解と係数の関係 (高校内容)
ax2＋bx＋c＝0の解がx＝p,qのとき
　解の和 p＋q＝− 　，解の積 pq＝
５ 四天王寺高校　（Ｒ６年）　★★★ 10 都立新宿高校　（Ｒ６年）　★★★
　2次方程式 x2−6x＋5＝0 の２つの解の和と積が,2次方程式 x2＋ax＋b＝0 の2つの解になるとき,a,bの値を求めなさい。
【解】
(x−1)(x−5)＝0より,x＝1,5
和6,積5が解となるから,(x−6)(x−5)＝0
　x2−11x＋30＝x2＋ax＋b
係数を比較して, a＝−11,b＝30		 　xについての二次方程式x2＋ax＋b＝0の解が1と2
であるとき, \(\frac{(a+b)(2a+b)}{(a+b+2)(2a+b+2)}\) の値を求めよ。
【解】解が1と2だから,(x−1)(x−2)＝0
x2−3x＋2＝x2＋ax＋bより,a＝−3,b＝2
このとき,a＋b＝−1,2a＋b＝−4で,これを代入
与式＝ 　(−1)×（−4)　. ＝−2
(−1＋2)×(−4＋2)

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