 数 式 |
２３ 数の性質１ （解答） |
| 数 式 |
２３ 数の性質１ （解答） |
| １ | 日大習志野高校 （Ｒ４年） ★ | ６ | 大阪府立高校Ｃ （Ｒ４年） ★★ | ||||||||||||||
| 37で割ったときに商と余りが同じになるような3桁の自然数は,全部で[ ]個ある。 【解】商と余りをxとすると, (0＜x＜37 自然数＝37x＋x＝38x 3桁だから,100≦38x＜1000 38で割って, 2.6‥≦x＜26.3‥ よって, x＝3,4,5,…,26の 24個 |
mを2けたの自然数とする。mの十の位の数と一の位の数との和をnとするとき,11n−2mの値が50以上〜60以下であるmの値をすべて求めなさい。 【解】十位をx,一位をyとすると, m＝10x＋y…ア n＝x＋y…イ アイより,11n−2m＝11(x＋y)−2(10x＋y) ＝−9x＋9y＝9(−x＋y) →9の倍数 50〜60で9の倍数は,11n−2m＝54 よって,−x＋y＝6 (x,y)＝(1,7) (2,8) (3,9)で, m＝17,28,39 |
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| ２ | 近大附属和歌山高校 （Ｒ４年） ★ | ７ | 大阪教育大池田校舎 （Ｒ４年） ★ | ||||||||||||||
| 385を割ると7余り,413を割ると8余る最小の自然数を求めなさい。 【解】余りを引いて 385−7＝378, 413−8＝405 378と405の公約数は, 1,3,9,27 このうち余りが8だから,最小数は 9 |
異なる4つの自然数a,b,c,dが小さい順に並んでいる。a2＋b2＋c2＋d2＝84 になるとき,a,b,c,dの値を1組求めなさい。 【解】1,4,9,16,25,36,49,64から4数を見つける 1＋9＋25＋49＝84より, (a,b,c,d)＝(1,3,5,7) |
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| ３ | 慶應義塾志木高校 （Ｒ４年） ★★★ | ８ | 愛光高校 （Ｒ４年） ★★ | ||||||||||||||
| z＝80x2＋2xy−y2をみたす(x,y,z)の組で,zが2番目に小さい組を求めよ。 【解】素数z＝(10x−y)(8x＋y) このとき,8x＋y≠1だから,10x−y＝1 …ア よって, z＝8x＋y＝8x＋(10x−1)＝18x−1 …イ アイより, (x,y,z)＝(x,10x−1,18x−1) 2番目に小さいのは,x＝11のときで, (x,y,z)＝(11,109,197) |
168と1260の最大公約数をxとするとき,x＝[ ]である。また,xの正の約数をすべてかけ合わせると,xyと表せる。このとき,y＝[ ]である。 【解】168＝23×3×7, 1260＝22×32×5×7 x＝22×3×7＝84 xy＝１･2･3･4･6･7･12･14･21･28･42･84 ＝212×36×76＝846で，y＝6 |
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| ４ | 渋谷教育学園幕張高校 （Ｒ４年） ★★ | ９ | 早大高等学院 （Ｒ４年） ★★ | ||||||||||||||
| xy−x−y＋119＝2022 を成り立たせるような,正の奇数の組(x,y)は何組あるか求めなさい。(ただし,x＜yとする。) 【解】x−1,y−1はともに偶数,かつx＜yで, (x−1)(y−1)＝2022−118＝1904＝24×7×17
右表の 6組 |
2022＝x√y(xy＋yy) を満たす自然数x,yの値をそれぞれ求めよ。 【解】yは平方数でなければならない y＝1のとき, 2022＝x(x＋1)で,自然数解xはない y＝4のとき, 2022＝2x(x4＋44) 1011＝3×337＝x(x4＋256)で, x＝3 y＝9のとき, 2022＝3x(x9＋99)で,右辺がオーバー よって, x＝3,y＝4 |
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| ５ | 法政大第二高校 （Ｒ６年） ★★ | 10 | 慶應義塾女子高校 （Ｒ６年） ★★ | ||||||||||||||
| 2nを19で割ったときの余りが9となる最小の自然数nを求めなさい。 【解】小さい方からnを当てはめて探す 28÷19＝256÷19＝13余り9 よって, n＝8 |
等式 a2＋b2−2a−4b＝20 が成り立つようなa,bの値の組をすべて求めなさい。 【解】(a−1)2＋(b−2）2＝25 (a−1,b−2)＝(0,5) (5,0) (3,4) (4,3) よって, (a,b)＝(1,7) (6,2) (4,6) (5,5) |
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