1 数 式
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23 数の性質2 (解答)
 1 ラ・サール高校 (H29年) ★  3  明治学院高校 (H29年) ★★
 3x+7y+4z=24 を満たす自然数 x,y,z の組を
すべて求めよ。


【解】係数の大きいyで,場合分けしてみる。

(1) y=1のとき,
 3x+4z=17で,(x,z)=(3,2)

(2) y=2のとき,
 3x+4z=10で,(x,z)=(2,1)

(3) y=3のとき,
 3x+4z=3で,(x,z) なし

よって,(x,y,z)=(3,1,2)(2,2,1)
 nは正の整数とする。1×2×3×…×30 が3nで割り切れるとき,nの最大の値を求めよ。


【解】 1〜30で,約数の個数を求める

3の約数は,30÷3=10で10個

9(32)の約数は,9,18,27で3個

27(33)の約数は,27の1個

よって,1×2×3×…×30の因数3は

 10+3+1=14個 含まれる。
 
 巣鴨高校 (H29年) ★★ 慶應義塾志木高校 (H28年)★★★
 (7×11×13)5 の各位の数の和を求めよ。

例えば,1234の各位の数の和は
   1+2+3+4=10 となる。


【解】

7×11×13=1001

10015=1,005,010,010,005,001

よって,1+5+1+1+5+1= 14



【別解】 x=1000=103 とすると,

10015=(1000+1)5=(x+1)5

 =1x55x410x310x25x1

xの累乗は10の累乗で各位の桁数を表す。

よって各位の数の和は,それぞれの

 係数の和で,1+5+1+1+5+1= 14

 
 2113n の十の位の数字が8となる2けたの
自然数nはいくつあるか。


【解】下2けたに注目
  他は必要ないのでと表しておく

211= 21,212=*41,213=*61,214=*81,
215=*01,216=*21,217=*41,218=*61,
219=*81,2110=*01,・・・

2113n=21Aとすると,
 十の位の数字が8となるのは
 A=4,9,14,19,24,…
   (5で割ったとき4余る)…ア
A=13nnは2けた)だから,
 A≧130で,A=130,143,156,169,182,…
   (13の倍数)…イ

ア,イより,最小のAは,n=13のときでA=169

この次からnは5ごとになるから,
 n
=18,23,28,33,・・・,98

よって全部で,n=13,18,23,・・・,98で,18個

<追加解説>
2113=*81,2118=*81,2123=*81,
2128=*81,・・・ 2198=*81

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