 数 式 |
２４ 数の性質２ （解答） |
| 数 式 |
２４ 数の性質２ （解答） |
| それぞれの値を求めなさい。 | |||||||||
| １ | 明治学院高校 （Ｒ４年） ★★ | 5 | 江戸川学園取手高校 （Ｒ５年） ★ | ||||||
| a,bは整数とする。ab2＋2ab＋a＝50b のとき, a＋bの最小値 【解】左辺を因数分解 右辺を素因数分解 a(b＋1)2＝50＝2×52 a＝50のとき,(b＋1)2＝１で, b＝±1−1＝0,−2 a＝2のとき,(b＋1)2＝25で, b＝±5−1＝4,−6 (a,b)＝(50,0) (50,−2) (2,4) (2,−6) a＋bの最小値は,(a,b)＝(2,−6)のときで, a＋b＝2−6＝−4 |
連続する2つの正の奇数の2乗の和は,2数の積より67大きい。このとき,2数のうち小さい方の数 【解】2数を2k−1と2k＋1とすると (2k−1)2＋(2k＋1)2＝(2k−1)(2k＋1)＋67 8k2＋2＝4k2＋66 4k2＝64で, k＝4 よって, 2k−1＝2×4−1＝7 |
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 正の奇数と偶数の表し方奇数は2k−1 偶数は2k (ともにkは自然数) |
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| ２ | 大阪星光学院高校 （Ｒ４年） ★★★ | 6 | 愛工大名電高校 （Ｒ４年） ★ | ||||||
| 19で割るとn余る自然数がある。この自然数を11倍して1を加えた数も19で割るとn余るという。このようなnはただ一つだけであり,n＝[ ]である。 【解】19k＋nと表せる (0≦n≦18) 11(19k＋n)＋1＝19t＋nと表せる 10n＋1＝19(t−11k) →19の倍数かつ一位が1 1≦10n＋1≦181より,10n＋1＝171で, n＝17 |
【解】分母が大→小さい素数
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| ３ | 立教新座高校 （Ｒ４年） ★★ | 7 | 立命館高校 （Ｒ４年） ★★ | ||||||
| 正の数pがあり,その小数部分をbとします。例えば,p＝3.14のとき,b＝0.14です。ある正の数pが等式 p2＋b2＝44…ア を満たすとき,pの値 【解】 0≦b＜1より,0＜b2＜1…イ b2＝44−p2をイに代入して,0＜44−p2≦1 −1≦p2−44＜0で,43≦p2＜44 √36＜p＜√49,つまりpの整数部分は6 b＝p−6で,これをアに代入して, p2＋(p−6)2＝44 p＞0だから, p＝3＋√13 |
(1) 987987の一の位の数 【解】末位7の累乗を調べる 71＝7,72＝49,73＝343,74=2401, 75＝16807, … 一位は7→9→3→1→7→… 4ブロックごとに繰り返す 987÷4＝246余り3で,3番目の 3 (2) ab＝9991となる2以上の自然数a,bの値(ただし,a＜b) 【解】 9991＝10000−1 ＝(100−3)(100＋3)＝97×103 a＜bだから, a＝97,b＝103 |
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| ４ | 秋田県立高校 （Ｒ６年） ★★ | ８ | 大阪教育大池田校舎 （Ｒ６年） ★★ | ||||||
| n2−20n＋91の値が素数になる自然数nをすべて求めなさい。 【解】n2−20n＋91＝(n−7)(n−13) どちらかの因数が１,または−1だから, n＝6,8,12,14 n＝6,14のとき,与式＝7(素数)となって適する よって, n＝6,14 |
2520はは1から10までのどの自然数でも割り切れる最小の自然数である。1から16までのどの自然数でも割り切れる最小の自然数を求めなさい。 【解】2520＝23×32×5×7に2×11×13を追加 2520×(2×11×13)＝720720 |
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