1 数 式
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24 数の性質3 (解答)
 1  立教新座高校 (H25年) ★★  3  東大寺学園高校 (H26年) ★★★
 abc=7 を満たす自然数 a,b,c について,
  2a×3b×5c で表される数を考えます。

(1) このような数は全部で何個ありますか。
【解】 3数の和が7となるパターンは,

 (1,1,5) 3個,(1,2,4) 6個,(1,3,3) 3個,

 (2,2,3) 3個, よって,3+6+3+3=15個

(2) x y を素因数分解したとき,最大の素因数
【解】 x=2×3×55, y=25×3×5

xy=2×3×55−25×3×5
 =2×3×5×(54−24)
 =2×32×5×7×29 となるから,29  
(1) (abcd)2+(acbd)2 を因数分解せよ。

【解】
与式=a2b2+2abcdc2d2
      +a2c2−2abcdb2d2
 =a2(b2c2)+d2(b2c2)
 =(a2d2)(b2c2)


(2) 2つの自然数M,Nの一の位をそれぞれm,nとする。M,Nの積MNの一の位が3であるとき,m,nの組 (m,n)をすべて求めよ。

【解】
積が3の倍数は,(1と3),(7と9)
 (m,n)=(1,3),(3,1),(7,9),(9,7) 
ラ・サール高校 (H28年) ★★★  東大寺学園高校 (下に続く)
(1) 2016の正の約数の個数を求めよ。

【解】
2016=25×32×7より,
 正の約数は 2x×3y×7z と表すことができる。
このとき,x=0〜5(6通り),y=0〜2(3通り)
  z=0〜1(2通り)
よって,6×3×2=36個


(2) 2016よりも小さい自然数で,正の約数の個数が2016の正の約数の個数と同じものをすべて求めよ。


【解】
素数を p,q,r,s とするとき,
 約数が36個となるのは次の形

ア素因数が1種の場合は p35
イ素因数が2種の場合は
 p17×qp11×q2p8×q3p5×q5
ウ素因数が3種の場合は
 p8×q×rp5×q2×rp3×q2×r2
エ素因数が4種の場合は p2×q2×r×s

積が2016より小さくなるのは,上の赤い式で,
 素数を当てはめて探してみると,
 25×32×5=1440, 23×32×52=1800,
 22×32×5×7=1260,22×32×5×11=1980
よって,1260,1440,1800,1980
(3) 2173は2つの2桁の素数の積として表せる。それを書け。

【解】一位が3だから(2)より,(1と3)を考えると
2173=(10x+1)(10y+3)=10(10xy+3xy)+3

 このとき,(10xy+3xy)=217で,
  あてはまる整数解は,x=4,y=5

よって,2173= 41×53


(4) 2173を2つの平方数の和として2通りに表せ。

【解】 41=16+25=42+52,53=4+49=22+72

 2173=(42+52)(22+72)

(1)より,(a2+d2)(b2+c2)=(ab+cd)2+(ac-bd)2

 a=4,b=2,c=7,d=5のとき,

  abcd=8+35=43,acbd=28-10=18

 a=4,b=7,c=2,d=5のとき,

  abcd=28+10=38,acbd=8-35=-27

よって,2173 = 432+182 = 382+272

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