1 数 式
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24 数の性質3 (解答)
 1  市川高校 (H30年) ★★  3  灘 高校 (H30年) ★★★
自然数a,b,Xについて,
 Xを19で割ると商がa,余りが2b …ア となる。また,Xを8で割ると商がb,余りがa …イ となる。
このとき,(a,b)の組をすべて求めなさい。
【解】余りの範囲に注意
アより,X=19a+2b (余りの条件 0≦2b≦18)…ウ
イより,X=8ba (余りの条件 0≦a≦7)…エ
ウ=エより,X=19a+2b=8baで,18a=6b
 つまり,3ab (余りの条件 0≦a≦7,0≦b≦9)
よって,(a,b)= (1,3) (2,6) (3,9) 
 pは3以上の素数とする。

(1) ab=2pを満たす自然数a,bの組は全部で[ ]組ある。
【解】積2pの素因数は,1,2,p,2p
a,bの組(a,b)=(1,2p) (2,p) (p,2) (2p,1) の4組


(2) x,yは自然数で,2x2−2y2xy−2p=0…ア を満たす。

(i) xyの値を求めよ。
【解】(1)の結果を利用
アより,2(xy)(xy)−(xy)=2pで,
 (xy)(2x+2y−1)=2p…イ
ここで,イの左辺の素因数(xy)と(2x−2y−1)の大小を調べてみる。
 x≧1,y≧1だから,
 (2x+2y−1)−(xy)=x+3y−1≧1+3−1=3
よって,(2x+2y−1)>(xy)
(1)の結果より, { xy=1,2x+2y−1=2p…ウ
xy=2,2x+2y−1=p…エ
 ウでは,2x+2y−1=2pの左辺は奇数,
  右辺は偶数なので不適
 エでは,yx−2を2x+2y−1=pに代入すると,
  4x−5=pで,x,pが存在する。
よって,xy2 …オ

ii) さらに,  が自然数であるとき,x,y,pの組を
すべて求めよ。

【解】x/yk(自然数)とすると,xky…カ
オよりxy+2をカに代入すると,
 y+2=kyで,(k−1)y=2
 k−1,yは自然数だから,k−1=1,2で,k=2,3
 k=2のときy=2で,x=4,p=4x−5=11
 k=3のときy=1で,x=3,p=4x−5=7
よって,(x,y,p)= (4,2,11) (3,1,7)
ラ・サール高校 (H28年) ★★★
(1) 2016の正の約数の個数を求めよ。
【解】
2016=25×32×7より,
 正の約数は 2x×3y×7z と表すことができる。
このとき,x=0〜5(6通り),y=0〜2(3通り)
  z=0〜1(2通り)
よって,6×3×2= 36個


(2) 2016よりも小さい自然数で,正の約数の個数が2016の正の約数の個数と同じものをすべて求めよ。
【解】
素数を p,q,r,s とするとき,
 約数が36個となるのは次の形
ア 素因数が1種の場合は p35
イ 素因数が2種の場合は
 p17×q,p11×q2,p8×q3p5×q5
ウ 素因数が3種の場合は
 p8×q×r,p5×q2×r,p3×q2×r2
エ 素因数が4種の場合は p2×q2×r×s

積が2016より小さくなるのは,上の赤い式で,
 素数を当てはめて探してみると,
 25×32×5=1440, 23×32×52=1800,
 22×32×5×7=1260, 22×32×5×11=1980
よって, 1260,1440,1800,1980

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