| １ | 京都市立堀川高校 （Ｒ５年） ★ | 6 | 昭和学院秀英高校 （Ｒ５年） ★★ | ||||
| a4＋4b4＝(a2＋2ab＋2b2)(a2−2ab＋2b2) が成り立つ。 10004 を素因数分解しなさい。 【解】a＝10,b＝1として代入 10004＝104＋4×14＝(100+20+2)(100-20+2) ＝122×82＝22×41×61 |
132＋x2＝y2 となる自然数の組 (x,y) をすべて求めよ。 【解】x＜yとなる 移項して,(y＋x)(y−x)＝169 このとき, y＋x＝169, y−x＝1 これを解いて,(x,y)＝(84,85) |
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| ２ | 西武学園文理高校 （Ｒ５年） ★★ | ７ | 青山学院高等部 （Ｒ５年） ★★ | ||||
| 自然数nの約数は3個あり,それら約数の和が57となるような自然数nは[ ]である。 【解】nの3個の約数は,a2,a,1と表せるから, a2＋a＋1＝57で, (a−7)(a＋8)＝0 a＞0より,a＝7となるから, n＝a2＝49 |
(1) 2023を素因数分解せよ。 【解】7×172 (2) 4m2＝n2＋2023となる自然数m,nのうち,mが最小の2数を求めよ。 【解】 4m2−n2＝2023 (2m＋n)(2m−n)＝7×172 (2m＋n，2m−n)＝(1,2023) (7,289) (17,119) このとき最小は, (m,n)＝(34,51) |
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| ３ | 立命館高校 （Ｒ５年） ★ | ||||||
| 21042を11で割った余りを求めなさい。 【解】2104＝11k＋3とおける 与式＝(11k＋3)2＝11(11k2＋6k)＋9で, 余り9 |
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| ４ | 慶應義塾高校 （Ｒ４年） ★★★ | ８ | 慶應義塾女子高校 （Ｒ５年） ★★ | ||||
| m,nは,等式2m−1＝(2n＋1)(2n＋3)を満たす。 (1) m＝6のとき,nの値を求めよ。 【解】等式を移項して整理すると, 2m＝(2n＋1)(2n＋3)＋1＝4(n＋1)2…ア 4(n＋1)2＝26＝64 nは自然数だから, n＝3 (2) この等式を満たす(m,n)の組をmの値の小さい順に並べる。このとき,5番目の組を求めよ。 【解】 ア÷4より, 2m-2＝(n＋1)2 ←平方数 m−2は偶数, つまりmは偶数 m＝2,4,6,8,10,を順に当てはめると, (m,n)＝(2,0) (4,1) (6,3) (8,7) (10,15) (12,31)… (2,0)は不適で, 5番目の組は (m,n)＝(12,31) |
整数xに6を加えると整数mの平方になり,xから17を引くと整数nの平方になる。m,nはともに正として,m,n,xの値を求めなさい。 【解】
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| ９ | 大阪教育大池田校舎 （Ｒ４年） ★ | ||||||
| 18の正の約数の平方根の正の数の和は(1＋√2)xという式で表される。xの値を求めなさい。 【解】√1＋√2＋√3＋√6＋√9＋√18 ＝4＋4√2＋√3＋√6＝(1＋√2)(4＋√3) よって, x＝4＋√3 |
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| ５ | 都立産技高専 （Ｒ６年） ★★ | 10 | 早稲田実業高等部 （Ｒ６年） ★★ | ||||
| a,b,cは素数で,a＜b＜cである。a2bcの約数は何個あるか。 【解】書き出してみると,12個 1 a a2 b c ab ac a２b a2c bc abc a2bc 【別解】3×2×2＝12個 (a0,a1,a2の3通り)×(b0,b1の2通り)×(c0,c1の2通り) |
2052の値を利用して,42024を素因数分解せよ。 【解】2052＝42025 42024＝2052−1＝(205＋1)(205−1) ＝206×204＝(2×103)×(22×3×17) ＝23×3×17×103 |
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