1 数 式
25 数の性質3 (解答)
 1 京都市立堀川高校 (R5年) ★  5 昭和学院秀英高校 (R5年) ★★
 a4+4b4=(a2+2ab+2b2)(a2−2ab+2b2) が成り立つ。
 10004 を素因数分解しなさい。

【解】a=10,b=1として代入
10004=104+4×14=(100+20+2)(100-20+2)
 =122×82=22×41×61
 132x2y2 となる自然数の組 (x,y) をすべて求めよ。

【解】xyとなる
移項して,(yx)(yx)=169
このとき, yx=169, yx=1
 これを解いて,(x,y)=(84,85)
西武学園文理高校 (R5年) ★★ 青山学院高等部 (R5年) ★★
 自然数nの約数は3個あり,それら約数の和が57となるような自然数nは[ ]である。

【解】nの3個の約数は,a2,a,1と表せるから,
a2a+1=57で, (a−7)(a+8)=0
 a>0より,a=7となるから, na249
(1) 2023を素因数分解せよ。
【解】7×172

(2) 4m2n2+2023となる自然数m,nのうち,mが最小の2数を求めよ。

【解】
4m2n2=2023
(2mn)(2mn)=7×172
(2mn,2mn)=(1,2023) (7,289) (17,119)
 このとき最小は, (m,n)=
(34,51)
立命館高校 (R5年) ★
 21042を11で割った余りを求めなさい。

【解】2104=11k+3とおける
与式=(11k+3)2=11(11k2+6k)+9で, 余り9
慶應義塾高校 (R4年) ★★★ 慶應義塾女子高校 (R5年) ★★
 2つの自然数m,nは,等式2m−1=(2n+1)(2n+3)を満たす

(1) m=6のとき,nの値を求めよ。
【解】等式を移項して整理すると,
2m=(2n+1)(2n+3)+1=4(n+1)2…ア
 4(n+1)2=26=64
nは自然数だから, n3

(2) この等式を満たす(m,n)の組をmの値の小さい順に並べる。このとき,5番目の組を求めよ。
解】
ア÷4より, 2m-2=(n+1)2 ←平方数
 m−2は偶数, つまりmは偶数
m=2,4,6,8,10,を順に当てはめると,
 (m,n)=(2,0) (4,1) (6,3) (8,7) (10,15) (12,31)…
(2,0)は不適で, 5番目の組は (m,n)=(12,31)
 整数xに6を加えると整数mの平方になり,xから17を引くと整数nの平方になる。m,nはともに正として,m,n,xの値を求めなさい。

【解】
xm2=−6…ア で,イ−アより,m2n2=23
xn2=17 …イ
(mn)(mn)=1×23で, m=12,n=11,x=138
大阪教育大池田校舎 (R4年) ★
 18の正の約数の平方根の正の数の和は(1+√2)xという式で表される。xの値を求めなさい。

【解】
1+√2+√3+√6+√9+√18
 =4+4√2+√3+√6=(1+√2)(4+√3)
よって, x4+√3

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