1 数 式
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25 平方根1 (解答)
 1 西大和学園高校 (H29年) ★★  4 東海高校 (H29年) ★★★
 √1800−18n が整数となるような自然数nの個数を求めよ。

【解】 √の中が平方数になればよい。


1800−18n=3√2(100−n)より,
 100−n=2×(平方数)

0≦100−n<100だから,
 100−n=2×02,2×12,2×22,2×32,…,2×72

n=100,98,92,82,68,50,28,2で,8個
 自然数m,nは,不等式 √nm≦√n+100…ア を満たしている。


(1) n=100のとき,mは[  ]個ある。

【解】

n=100=102で,アより,
 10≦m≦10√2≒14.1
 m=10,11,12,13,14で,5



(2) n=225のとき,mは[  ]個ある。

【解】

n=225=152で,アより,
 15≦m≦√325
 182=324,192=361で,18<√325<19
 m=15,16,17,18で,4



(3) mがちょうど2個である最小のnは[  ]である。

【解】

アより,nm2n+100 …ア’
 ア’のm2の部分に,2個の平方数が存在し,
  それより小さい平方数と大きい平方数は,
   外側に存在すればよい。

つまり,(m−1)2nm2(m+1)2
 ≦n+100<(m+2)2 …イ

ア’の区間の幅は100だから,
 その外側の区間の幅は100より大きい

よって,(m+2)2−(m−1)2>100 …ウ
ウを解くと,6m+3>100で,
 m 97 =16  1 で,m=17
6  6

イより,162(256)<n≦172(289)で,
 最小のn257
城北高校 (H29年) ★★
 √2017−n が整数となる最小の正の整数nの値を求めよ。

【解】 √の中が平方数になればよい。

2017−nk2 (平方数)とすると,n=2017−k2

2乗して2017に近いkを探すと,
 k=44のとき,n=2017−442=2017−1936=81
 k=45のとき,n=2017−452=2017−2025=−8

n=−8<0だから不適で,n=81
成城高校 (H29年) ★★
 自然数a,b,cが√960a=√980bcを満たすとき,最小のaの値は[ ]で,このときのcの値は[ ]である。


【解】

c=√960a=√82×15a=√82×152×m2…ア
 このとき,a=15m2(mは自然数)…イ

c=√980b=√142×5b=√142×52×n2…ウ
 このとき,b=5n2(nは自然数)

ア=ウより,8×15×m=14×5×n
 12m=7nだから,最小のm=7

イより,a=15×72735
アより,c=√82×152×72=8×15×7= 840

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