| １ | 大阪教育大池田校舎 （Ｒ５年） ★ | ５ | 日本大習志野高校 （Ｒ５年） ★★ | |||||||||||||||||||||
| 1から20までの自然数のうち,素数であるものの積をA,素数でないものの積をBとする。AとBの最大公約数を求めなさい。 【解】 A＝2・3・5・7・…・19 B＝1・4・6・…・20 よって,2・3・5・7＝210 |
自然数x,y,zが,x＋y＋z＝20,xyz＝60を満たす。 このとき, x＝( ),y＝( ),z＝( )である。 【解】xyz＝60＝22×3×5 ←奇数が2つ 3数の和が偶数だから, 奇数＋奇数＋4の倍数で, (1,3,20) (1,5,12) (1,15,4) (3,5 4) のうち, x＋y＋z＝20より, x＝1, y＝4, z＝15 |
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| ２ | 同志社高校 （Ｒ５年） ★ | ６ | 桐光学園高校 （Ｒ５年） ★ | |||||||||||||||||||||
| 十の位の数字がa,一の位の数字がbである2桁の自然数をNとし,Nの十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる自然数をMとする。N2−M2＝693であるとき,自然数Nを求めよ。 【解】N＝10a＋b, M＝10b＋a N2−M2＝(10a＋b)2−(10b＋a)2 ＝99(a＋b)(a−b)＝693
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x2−y2＝105を満たす自然数x,yの組(x,y)において,すべてのxの組の和を求めよ。 【解】x2−y2＝(x＋y)(x−y)＝3×5×7
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| ３ | 法政大高校 （Ｒ５年） ★ | ７ | 早稲田実業高等部 （Ｒ５年） ★★ | |||||||||||||||||||||
| 整数aを7で割ると4余り,整数bを7で割ると3余る。a2＋2abを7で割ったときの余りを求めなさい。 【解】a＝7m＋4, ｂ＝7n＋3 とおくと, 与式＝(7m＋4)2＋2(7m＋4)(7n＋3) ＝7（7m2＋14mn＋14m＋8n＋5)＋5 よって, 余り5 |
a,bは連続しない正の整数とする。 等式 (a−b)(a2＋b2)＝2023 を満たすa,bの値を求めよ。 【解】(a−b)(a2＋b2)＝2023＝7×172
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| ４ | 西大和学園高校 （Ｒ５年） ★★ | ８ | ラ・サール高校 （Ｒ５年） ★★★ | |||||||||||||||||||||
| x＜yを満たす自然数x,yについて,x,yの最大公約数が5,xy＝1300のとき,これを満たす自然数(x,y)の組をすべて求めよ。 【解】x＝5a ,y＝5bとおくと, xy＝25ab＝1300より, ab＝52＝22×13 (a,b)＝(1,52) (4,13) よって, (x,y)＝(5a,5b)＝(5,260) (20,65) |
3桁の奇数で,各桁の数の積が252となるものをすべて求めよ。 【解】252＝22×32×7 ←奇数が3つ 3数の積が偶数だから,奇×奇×偶か奇×偶×偶 3数の組は(7,9,4)または(7,6,6) よって, 479 497 749 947 667 |
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