１	大阪教育大池田校舎　（Ｒ５年）　★	６	日本大習志野高校　（Ｒ５年）　★★
1から20までの自然数のうち,素数であるものの積をA,素数でないものの積をBとする。AとBの最大公約数を求めなさい。 【解】 A＝2・3・5・7・…・19　B＝1・4・6・…・20 　よって,2・3・5・7＝210		自然数x,y,zが,x＋y＋z＝20,xyz＝60を満たす。 　このとき, x＝(　),y＝(　),z＝(　)である。 【解】xyz＝60＝22×3×5 ←奇数が2つ 3数の和が偶数だから, 奇数＋奇数＋4の倍数で, 　(1,3,20) (1,5,12) (1,15,4) (3,5 4) のうち, x＋y＋z＝20より, x＝1, y＝4, z＝15
２	同志社高校　（Ｒ５年）　★	７	桐光学園高校　（Ｒ５年）　★
十の位の数字がa,一の位の数字がbである2桁の自然数をNとし,Nの十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる自然数をMとする。N2−M2＝693であるとき,自然数Nを求めよ。 【解】N＝10a＋b, M＝10b＋a N2−M2＝(10a＋b)2−(10b＋a)2 　＝99(a＋b)(a−b)＝693 a＋b＝7 より, a＝4, b＝3で, Ｎ＝43 a−b＝1		x2−y2＝105を満たす自然数x,yの組(x,y)において,すべてのxの組の和を求めよ。 【解】x2−y2＝(x＋y)(x−y)＝3×5×7 x＋y＝105 　 x＋y＝35 　 x＋y＝21 x−y＝1 x−y＝3 x−y＝5 x＋y＝15 より, (x,y)＝(53,52) (19,16) x−y＝7 　　　(13,8) 11,4) よって, 53＋19＋13＋11＝96
３	法政大高校　（Ｒ５年）　★	８	早稲田実業高等部　（Ｒ５年）　★★
整数aを7で割ると4余り,整数bを7で割ると3余る。a2＋2abを7で割ったときの余りを求めなさい。 【解】a＝7m＋4, ｂ＝7n＋3 とおくと, 与式＝(7m＋4)2＋2(7m＋4)(7n＋3) 　＝7（7m2＋14mn＋14m＋8n＋5)＋5 よって, 余り5		a,bは連続しない正の整数とする。 等式 (a−b)(a2＋b2)＝2023 を満たすa,bの値を求めよ。 【解】(a−b)(a2＋b2)＝2023＝7×172 ア a−b＝7 　イ a−b＝17 a2＋b2＝172 a2＋b2＝7×17 　アより, a＝15,b＝8　　(イは解なし)
４	西大和学園高校　（Ｒ５年）　★★	９	ラ・サール高校　（Ｒ５年）　★★★
x＜yを満たす自然数x,yについて,x,yの最大公約数が5,xy＝1300のとき,これを満たす自然数(x,y)の組をすべて求めよ。 【解】x＝5a ,y＝5bとおくと, xy＝25ab＝1300より, ab＝52＝22×13 　(a,b)＝(1,52) (4,13) よって, (x,y)＝(5a,5b)＝(5,260) (20,65)		3桁の奇数で,各桁の数の積が252となるものをすべて求めよ。 【解】252＝22×32×7 ←奇数が3つ 3数の積が偶数だから,奇×奇×偶か奇×偶×偶 　3数の組は(7,9,4)または(7,6,6) よって, 479 497 749 947 667
５	明治大付属中野高校　（Ｒ６年）　★	10	慶應義塾志木高校　（Ｒ６年）　★★★
ある自然数は,正の約数を3個だけもち,その約数の総和が871です。この自然数を求めなさい。 【解】3個の約数は, p2,p ,1 の形 p2＋p＋1＝871で, p2＋p−870＝0 　(p＋30)(p−29)＝0より, p＝29 よって,ある自然数は, 292＝841		x2＋144＝y2 をみたす自然数の組(x,y)をすべて求めよ。 【解】y2−x2＝(y＋x)(y−x)＝144 y＋x＞y−xだから, (y＋x,y−x)＝(144,1) (72,2) (48,3) (36,4) (24,6) (18,8) 　(16,9) で, このうち,自然数の組は 　(x,y)＝(5,13) (9,15) (16,20) (35,37)

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