1 数 式
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27 平方根3 (解答
 1 お茶の水女子大附属 高校 (H28年) ★★  3  大阪星光学院高校 (H28年) ★★
 Nとnを自然数とする。不等式N<√n<N+1を満たすnが8個あるとき,
 その8個の自然数の平均値を求めなさい。


【解】

各辺を2乗すると,N2n<N2+(2N+1)

このとき,nが8個だから,
 n
=N2+1,N2+2,…,N2+8

よって,2N+1=9 つまり,N=4で,N2=16

n=16+1,16+2,…,16+8より,
nの平均値=16+ 1+2+…+8 =16+ 36
8  8
 =16+4.5=20.5 または, 41
2
(1) √2016 の整数部分は [ ] である。

【解】

442=1936,452=2025より,44<√2016<45
 よって, 44


(2) また,小数部分を x とおくとき,x3+89x2+8x の値は [ ] である。

【解】

2016=(整数)+(小数)=44+x より,
 両辺を2乗して,(√2016)2=(x+44)2
 2016=x2+88x+1936で,x2+88x=80

与式=x(x2+88x)+x2+8x=80xx2+8x
 =x2+88x=80
開成高校 (H28年) ★ 豊島岡女子学園高校 (H25年)★★
 2つの数abがあって,aは,−1≦a≦1.5を満たし,bは小数第1位で四捨五入すると4となる。
   とおくとき,
xのとり得る値の範囲を不等式で表せ。

【解】

−1≦a≦1.5より,0≦(−a)2≦2.25で,
 0≦√(−a)2≦1. …ア
bは3.5≦b<4.5より,
  4.5×(−  1 )<−  1 b≦3.5×(−  1 ) で,
 2  2  2
 −2.25<−  1 b≦−1.75 ・・・イ 
 2
ア+イより,0+(−2.25)≦x≦1.5+(−1.75)
よって,−2.25<x<−0.25または,  9 x<−  1
 4  4

<追加解説>

axbcydのとき,acxybd

axbcydのとき, 
 (d<−y<−c となるから,)
 adxybc
 aが正の整数のとき,

(1) √aの整数部分が7であるようなaは,全部で何個ありますか。

【解】 7≦√a<8 より,49≦a<64

 よって,a=49,50,51,…,63 の 15個


(2) √3a の整数部分が12であるようなaについて考えます。この中で,√3a を最も簡単にしたときに,2以上の整数mnを用いてmn の形になるようなaは,全部で何個ありますか。

【解】 同様に,144≦3a<169 で,48≦a<56.3

a=48,49,50,…,56

3amnm2n で,
 3am2n の形になるもの

 3×49=72×3,3×50=52×6,
 3×51=32×17,3×52=22×39,
 3×54=32×18,3×56=22×42

よって,49,50,51,52,54,56の 6個

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