1 数 式
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31 新記号1 (解答)
 1  慶應義塾女子高校 (H30年) ★★★  2 東大寺学園高校 (H29年) ★★★
 百の位,十の位,一の位がそれぞれa,b,cである3桁の数字がある。その3つの数字を並べ替えてできる一番大きい3桁の数字から一番小さい3桁の数字をひいたものを<abc>で表すものとする。例えば,<357>=753−357=396である。

[1] <123>,<<123>> をそれぞれ求めなさい。
【解】
<123>=321−123=198
<<123>>=<198>=981−189=792

[2] さらに0<abc<10のとき,

(1) <abc>を,数式を用いて表しなさい。
【解】
<abc>=(100c+10ba)−(100a+10bc)
 = 99c−99a

(2) <abc>の百の位,一の位を,a,cを用いて表しなさい。
【解】一の位が負にならないように調整する。
(1)より,<abc>=99c−99a=100(ca)−(ca)
ここで,−(ca)は1桁の負の数となるから,10を前の項から後ろの項へ移すと,
<abc>=100(ca−1)+90+{10−(ca)}
 =100(ca−1)+9×10+(10+ac)
よって,百の位は ca−1,一の位は 10+ac

(3) <abc>=<<abc>>のとき,<abc>の値を求めなさい。
【解】百と一の位の大小で場合分けして考える。
<abc>の十の位は常に9で,他の2数より大きい。
・(百の位)>(一の位)の場合
 (2)より,<<abc>>={900+(10+ac)}
   −{100(10+ac)+9}=99c−99a
  99c−99a−99=99c−99aで,不適
・ (百の位)<(一の位)の場合
 (2)より,<<abc>>={900+(ca−1)}
  −{100(ca−1)+9}=99c−99a
  99a−99c+990=99c−99aで,
   ac+10=caより,ca+5
よって,<abc>=99c−99a=99(a+5)−99a
  =99×5= 495
 1から9までの整数から異なる3つの整数p,q,rを選ぶ。記号【p,q,r】は,選んだp,q,rを並べてできる3桁の整数のうち一番大きな数と一番小さな数の差を表す。
(1) (【a,1,9】−【7,4,1】)÷99の値を求めよ。
【解】
a,1,9】=(901+10a)−(109+10a)=792
【7,4,1】=741−147=594
よって,与式=(792−594)÷99= 2
(2) 【3,a,2】+【a,9,7】=693のときのaの値の値をすべて求めよ。
【解】 a=1,4,5,6,8
a=1のとき,
【3,a,2】+【a,9,7】=(321−123)+(971−179)
 =198+792= 990
a=4,5,6のとき,
【3,a,2】+【a,9,7】=(100a+32)−(230+a)
 +(970+a)−(100a+79)= 693
a=8のとき,
【3,a,2】+【a,9,7】=(832−238)+(987−789)
 =594+198= 792
(3) a,1,b】−【9,b,a】で,一番大きい値と一番小さい値の差を求めよ。
【解】 2≦ba≦8とする
a,1,b】=(100a+10b+1)−(100+10ba)
 =99a−99
【9,b,a】=(900+10ab)−(100b+10a+9)
 =891−99b
よって,与式=99(ab)−990
 最大は,ab=8+7=15のとき,
 最小は,ab=3+2=5のとき,
したがって,99×(15−5)= 990
(4) 【a,b,c】のとりうる値の中で大きい方から5番目の値となる3つの数の組み合わせについて考える。3つの数の和が9の倍数になる組み合わせをすべて求めよ。
【解】 1≦cba≦9とする
a,b,c】=(100a+10b+c)−(100c+10ba)
 =99(a−c)
ac=2,3,4,5,6,7,8で,5番目はac=4のとき,
このとき,(a,c)=(9,5) (8,4) (7,3) (6,2) (5,1)
abc=9の倍数となるから,
 (a,b,c)= (8,6,4),(5,3,1)

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