数　式 　３２　約束記号 （解答）
１ 早稲田佐賀高校　（Ｒ５年）　★★★ ４ 筑波大附属高校　（Ｒ４年）　★★★
　《○, □》は,連続する□個の正の整数の和で○を表したものである。

(1) 《147, 7》の「中央の数」を求めよ。
【解】中央数をxとすると,
(x-3)+(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)+(x+3)＝147
　7x＝147より, x＝21

(2) 《356, 8》の「最小の数」と「最大の数」の和を求めよ。
【解】最小数をxとすると,最大数はx＋7
{x＋(x＋7)}×8＝356より, 2x＋7＝89

(3) 《2023, a》について, aの最大値を求めよ。
【解】最小数をxとすると,最大数はx＋a−1
(2x＋a−1)a＝2023＝7×172
　(a,x)＝(2,1011) (7,286) (14,138) (17,111) (34,43)
　　a＝34 		(1） ＜18＞＝［　］である。
【解】一位の循環をチェック
81＝8,82＝4,83＝2,84＝6,85＝8…で,＜18＞＝4
(2) ＜n＞＝１となる自然数nを5つ示すと,n＝[　]
【解】一位の累乗がすべて一致
0x＝0,1x＝1,5x＝5,6x＝6で, n＝,1,5,6,10,11,15等
(3) ＜n＞＝＜n2＞である133以下は[　 ]個
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
＜n＞ 1 4 4 2 1 1 4 4 2 1
＜n2＞ 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1
【解】nの一位＝1,5,6,0で,1〜133
　14＋13＋13＋13＝53
(4) n2−10＜n2＞n＋24＜n＞＝0
【解】3パターンあり
ア nの一位＝1,5,6,0のとき,n2−10n＋24＝0
　　(n−4)(n−6)＝0より, n＝6
イ nの一位＝2,3,7,8のとき,n2−20n＋96＝0
　　(n−8)(n−12)＝0より, n＝8,12
ウ nの一位＝4,9のとき,n2−10n＋48＝0　解なし
　アイウより, n＝6,8,12　　
２ 大阪教育大池田校舎　（Ｒ４年）　★★★ ５ 早稲田大本庄高校　（Ｒ５年）　★★★
(1)　[5x＋1]＝[2x＋4]である１桁の自然数x
【解】n＝9k＋[n] (kは自然数)とすると,
5x＋1−9k1＝2x＋4−9k2
　3x−3＝9（k1−k2）
　　x＝3(k1−k2)＋1 →3で割って1余る数　よって, x＝1,4,7
(2) [[x]＋[y]]＝[x＋y]を説明しなさい。
【解】x＝9k1＋[x] , y＝9k2＋[y]とすると,
左辺＝[x−9k1＋y−9k2]
　　＝[(x＋y)−9(k1＋k2)]＝[x＋y]
(3)[[2x＋1]＋[x]]＝[x＋6]である100以下の素数x
【解】(2)の結果を利用
[[2x＋1]＋[x]]＝[3x＋1]＝[x＋6]
[3x＋1]−[x＋6]＝[2x−5]＝0
2x−5＝9k(kは奇数)より, x＝7,16,25,34,…,97
このうち,素数x＝7,43,61,79,97		 　h(m,n)＝(m＋n)(m＋n−1)−m＋1と定める。

(1) h(27, 2)＋h(26, 3) を計算せよ。
【解】h(m,n)＝A(A−1)−m＋1
与式＝29×28−(27＋26)＋2＝761
(2) 等式 h(3m, 3m＋4)＝1987を満たすmの値をすべて
【解】(6m＋4)(6m＋3)−3m＋1)＝1987
　m2＋m−110＝(m−10)(m＋11)＝0
　m＞0だから, m＝10
(3) 等式 h(m, n)＝2023を満たす正の整数の組(m, n)をすべて
【解】A(A−1)−m＝2022
　・A＝64のとき,m＝−6（不適）
　・A＝66のとき,m＝123（不適）
　・A＝65のとき,m＝58で, (m, n)＝(58,7)
３ 大阪星光学院高校　（Ｒ６年）　★★ ６ 京都府立嵯峨野高校　（Ｒ６年）　★★
　[√2024]＝(ア　　)
　[√1]＋[√2]＋[√3]＋…＋[√72]＝(イ　　)

【解】
ア 2025＝452より, √2024＜45で, [√2024]＝44
イ　[√1]＋[√2]＋[√3]＝1×3＝3
　　[√4]＋[√2]＋…＋[√8]＝2×5＝10
　　　　……………………………………
　　[√64]＋[√65]＋…＋[√72]＝8×9＝72
よって,3＋10＋21＋36＋55＋78＋105＋72＝380		 (1) f(10,13)の値を求めよ。
【解】 f(10,13)＝ 10・13−10＋13−1 ＝ 132 ＝66
2 2
(2) f(k,k＋1)＝10となる正の整数kをすべて求めよ。
【解】 k(k＋1)−k＋(k＋1)−1 ＝ k2＋k ＝10
2 2
　k2＋k＝20より,(k＋5)(k−4)＝0で, k＝4
(3) f(m,n)＝10を満たす正の整数m,nの組が何組あるか。
【解】 mn−m＋n−1 ＝10より, (m＋1)(n−1)＝20
2
(m1,n-1)＝(2,10) (4,5) (5,4) (10,2) (20,1)のときで, 5組

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