1 数 式
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 32 新記号2    月   日(  )
 1  広島大附属高校 (H24年) ★★  3  慶應義塾女子高校 (H26年) ★★
 自然数nに対して,nの正の約数の個数を[n]と表すこととする。例えば,自然数8の約数は1,2,4,8の4つで
あるから[8]=4である。次の各問いに答えよ。

(1) [45]の値を求めよ。








(2) mは30以下の自然数とする。
2次方程式 [m2−6[m]+8=0を満たすmはいくつあるか求めよ。















(3) 次の連立方程式を満たす自然数pqの組(pq)は何通りあるか求めよ。

   [p]+[q]=4
  pq =26















  
  n
a  
1 2 3 4 5 6 7
 1  1  1 1 1  1 1  1
 2  2  4  8  6  2  4  8
 3  3  9  エ  オ  カ
 4   4  6 4  6  4  6  4
 5   5  5  5  5  5  5  5
 6   6  6  6  6  6  6  6
 7  7  9  3  1  7  9  3
 8   8  4  2  6  8  4  2
 9   9  1  9  1  9  1  9
 次の文章内の[ア]〜[シ]に最も適切な数を入れなさい。

 自然数kに対して,記号【k】はkの一の位を表すものとすると,【1234×56789】=[ア]である。

 次に,nが自然数のとき,【3n】の値はn=1から順に,

 【31】=【3】=3,
 【32】=【9】=9,
 【33】=[イ],
 【34】=[ウ],【35】=[エ],
 【36】=[オ],【37】=[カ],
     ・・・・・
であるから,9以下の自然数aについて【3n】 の値をまとめると,右上の表のようになる。

 ここで,すべての9以下の自然数aにおいて,
an】=a …(1) が成り立つnの値を考えると,(1)を満たすnは無数にあるが,いずれのnも[キ]で割って,[ク]余る整数になる。そのうち,30以上40以下のnは33と[ケ]である。


 さらに(1)を満たすnのうち,33のように2つの整数3と11の積で表すことができるものは,
 【233】= 【211×211×211
   
  =【2048×2048×2048】

  =[コ]のように計算できる。

一方,

【 (【211】)3 】=【 【211】×【211】×【211】 】

 =【【2048】×【2048】×【2048】】

 =【8×8×8】=[コ]であるから,

【233】=【 (【211】)3 】 がいえる。


 これより,すべての9以下の自然数aにおいて,

【 ( 【a15】 )m 】=a を満たす一けたの自然数mを求めると,[サ ]と[シ] になる。
 

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