2 関数
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10 二次関数3 (解答)
 1  群馬県立高校 (H29年) ★★  3 東海高校 (H28年) ★★ 
 1往復するのにx秒かかる振り子の長さをymとすると,yx2…ア という関係が成り立つ。
(1) 振り子Aの長さを求めなさい。
【解】
アに
x=2を代入して,y×221m

(2) 長さがmのBは,Aが1往復する間に何往復するか
【解】
振り子Bは1往復するのに,アに
xを代入して,
 
x2x>0より,x=1秒だから,
 2往復では2秒…イ
振り子Aは1往復するのに2秒…ウ
イウより,
2往復
 yx2…ア 上に2点A,Bがある。
(1) 点Bのx座標は[  ]である。
【解】△OBC(3辺の比 3:4:5)と相似な三角形がある。
Bからx軸に垂線BDをおろすと,
 △OBD∽△COB(2角相等)
 OD:BD=4:3で,B(4k,3k)…イとおける。
これをアに代入して,3k×(4k)2=4k2
 k(4k−3)=0で,k≠0より,k…ウ
ウをイに代入して
x座標は,x3
(2) l がOACBを2等分するときのl の傾きは[  ]である。
【解】
△OACと△OBCの底辺は共通
イより,B(3,)で,OB=
{32+()2}…エ
OC=OB××(Cの
y座標)…オ
アにオを代入して,
x2で,
 x
<0よりx=−5(Aのx座標)
OACB=△OAC+△OBC=××(5+3)=25…カ
l とACの交点をE(t,)とするとき,
  △OAE=になればよいから,
 ×(t+5)×で,t=−1
E(−1,)となって,傾きは
−25/4
【下の2番の別解】(右図参照)
BCの中点Mの
y座標は,
 
{(ak)2(ak)2}÷2
   =(
a2k2)…カ
よってカ−アより,MA=(
a2k2)−a2k2
△ABC=△BMA+△CMA
 =MA×(Cの
x座標−Bのx座標)
 =×k2×
{(ak)(a−k)}=k3 cm2
大阪府立高校 C (H28年) ★★ 立命館高校 (H29年) ★★★
 myx2。A,B,Cはm上の点

【解】(右上図参照)
Aの
x座標をa(0<a<1)とすると,
 A(
a,a2) B(ak,(ak)2)
 C
(ak,(ak)2)…ア
3点から
x軸に垂線AD,BE,CFをおろすと,
△ABC=BEFC−BEDA−ADFC…イ
 BEFC=(
ak)2(ak)2
     ×{(
ak)−(ak)}
  =×(
a2k2)×2k(a2k2)…ウ
同様に,BEDA=k(2
a2−2akk2)…エ
   ADFC=k(2
a2+2akk2)…オ
イ,ウ,エをアに代入して,
△ABC=k(
a2k2)−k(2a2−2akk2)
  k(2
a2+2akk2)=×2k2k3 cm2

【別解】1番の下に掲載
y=−x2に点A(a,−1),B(b,−4),C(c,−c2)
(1) 直線l の式,および直線mの式

【解】アにAとBの座標を代入して,
A(−1,−1),B(−2,−4)だから,
 l
y=3x+2
m
y軸に平行で, x=−1
(2) y軸上の点Pのy座標をcを用いて表しなさい。
【解】CからABに平行線nを引くと,
nは,
y=3(xc)−c2で,y=3xc2−3c…イ
イに
x=0を代入して, yc2−3c
(3) △ABCの面積Sをcを用いて表しなさい。
【解】mnの交点をQとすると,
イに
x=−1を代入して, y=−c2−3c−3で,
 Q(−1,−
c2−3c−3)
このとき,△ABC=△ABQとなるから,
S=△ABQ=AQ×(AとBの
x座標の差)÷2
 ={−1−(−
c2−3c−3)}×1÷2= (c2+3c+2)
(4) S=15となるような点Cの座標を求めなさい。
【解】(c2+3c+2)=15で,c2+3c−28=0
(
c+7)(x−4)=0より,c>0だから,c=4で, C(4,−16)

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