2 関数
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13 変域2 (解答)
 1 早稲田実業高等部 (H30年) ★  4 日本大第三高校 (H29年) ★
 y=−x2で,ax≦2のとき,−9≦ybである。a,bの値を求めよ。

【解】(右図参照)
最小値は−9で,
 このとき,−x2=−9
 x2=18より,x=±3√2
 xの変域よりa≦2だから,a−3√2
最大値はx=0≦のときで,b=−×02 0
 関数yx2で,−3√2x≦2√3のとき,yの変域を求めなさい。

【解】(右図参照)
x=−3√2のとき,y=12
x=0のとき,y=0
x=2√3のとき,y=8
よって, 0≦y≦12
 
県立岡山朝日高校 (H29年) ★★ 明治大付属中野高校 (H28年) ★
 0≦xbであるとき,yax−1…ア とy=−2x+5…イ のyの変域が一致。a=[ ],b=[ ]である。

【解】(右図参照)
アの値域は,
 a>0のとき,−1≦yab−1
 a<0のとき,ab−1≦y≦−1
イの値域は,−2b+5≦y≦5
a>0のとき,{ ab−1=5
−2b+5=−1
 これを解いて, a=2,b=3
a<0のとき,yの変域は一致しない。
 関数yax2において,xの変域が−6≦x≦9における最小値が−18でした。このとき,aの値を求めなさい。

【解】(右図参照)

グラフは上に凸の放物線

x=9のとき,y=−18だから,

 −18=a×92で,a=− 18  2
81  9
  
中央大附属高校 (H30年) ★★ ラ・サール高校 (H28年) ★★
 yx2で,−3≦xaのとき,0≦y≦3a+4となるような定数aの値をすべて求めなさい。

【解】(右図参照)

(i) 3≦aかつ,9≦a2のとき,3≦a
  最大値を比較して,a2=3a+4
  (a+1)(a−4)=0で,3≦aより,a=4

(ii) 0≦a<3かつ,a2<9のとき,0≦a<3
  最大値を比較して,3a+4=9
  3a=5より, a
 
 yax2で,−1≦x≦2のとき,byb+1であった。このようなa,bの値の組を求めよ。

【解】(右図参照)
a>0のとき,
 x=0のとき,最小値b=0
 x=2のとき,最大値b+1=22a
よって,a b=0

a<0のとき,
 x=0のとき,最大値b+1=0
 x=2のとき,最小値b=22a
よって, a=−   ,b=−1

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