関数 15 放物線と直線2 (略解)
中央大附属高校 (R5年) ★★ 成城学園高校 (R5年) ★★
 放物線yax2…ア と直線ybx-5…イ は2点A,Bで交わる。
(1) a,bの値を求めなさい。
【解】アイにA,Bのx座標を代入して
(-5)2a=-5b-5で,5ab=-1…ウ
22a=2b-5で,4a-2b=-5…エ
ウエを連立させて解くと, a=-, b
(2) 放物線上に点Cをとる。△ACBの面積が105となるとき,点Cの座標をすべて求めなさい。
【解】ABの平行線yxp…ウをとる
△ABP=(-5-p)×(2+5)=105より,p=-35
ウはyx-35で,ア=ウより,
  C(-10,-50) C(7,-49/2)
 関数yx2…ア と関数yaxb…イ が2点A,Bで交わっている。
(1) a,bの値をそれぞれ求めよ。
【解】アより,A(-4,4) B(2,1)
イにA(-4,4)を代入して,-4ab=4…ウ
イにB(2,1)を代入して,2ab=1…エ
ウエを連立させて解くと, a=- b=2
(2) △AOBの面積を求めよ。
【解】(1)より,C(0,2)
△AOB=OC×(BとAのx座標差)
 =×2×(2+4)=6
(3) kの値を求めよ。
【解】D(-k,k) E(4-2k,k)で,DE=4-k
△ACD=(4-k)2=3で, k=4-√6
桐朋高校 (R5年) ★★★ 西大和学園高校 (R5年) ★★★
 放物線yax2…ア と直線ybxc…イ は2点A,Bで交わる。
(1) a,b,cの値を求めよ,
【解】アにB(6,12)を代入して, a
イにA(-3,3) B(6,12)を代入して, b=1,c=6
(2) △APBの面積がy軸によって2等分されるとき,
 ① △ACBの面積は△APCの面積の何倍か。
【解】底辺CD共通で,△ACD:△BCD=1:2
APCD=△BCDより,△ACB:△APC=3:1で, 3倍
 ② 点Pの座標を求めよ,
【解】①より,BC:PC=3:1で,Pのx座標は-2
yx2に代入して, P(-2,)
(3) 点Qのx座標を求めよ。
【解】△OAB=27だから,△OQB=3
OBウと引くと,△ORB=3で,
 QBはy=2x-1…ウ
ア=ウより,x2=2x-1で, x=3±√6
 傾きが2である直線…ア が放物線yax2…イ と2点A,Bで交わる。
(1) 直線ABの式を求めよ。
【解】△OAC=OC×2=6より, C(0,6)
傾き2,y切片6となって, y=2x+6 …ア
(2) aの値を求めよ。
【解】アにx=-2を代入して,A(-2,2)
これをイに代入して,2=(-2)2aで, a
(3) 点Pの座標を求めよ。
【解】Pからアの平行線ウを引く
△PAB=△QABだから,QC:OC=7:12で,Q(0,)
Pはイウの交点で,x2=2x
 x2-4x-5=0 x<0より, P(-1,)
(4) △CPAの回転体の体積を求めよ。
【解】
赤円錐(半径2,高さ4+3)-青円錐(半径,高さ)
π×22×(4+3)-π×12×()=7π
明学東村山高校 (R6年) ★★ 関西学院高等部 (R6年) ★★★
 放物線yax2…アと直線ybxc…イが2点A(-4,8),B(2,2)で交わっています。
(1) a,b,cの値を求めなさい。
【解】アに(2,2)を代入して,2=22aで, a
イに(-4,8)と(2,2)を代入して
 連立させて解くと, b=-1, c=4
(2) 原点Oと2点A,Bを結んでできる△OABの面積
【解】△OAB=OC×(AとBのx座標差)
△OAB=×4×(2+4)=12
(3) △OABをx軸に関して一回転させてできる立体の体積
【解】△FADの回転体-(△OADの回転体+△BOFの回転体)
×82π×8-(×82π×4+×22×4)=80π
 放物線y=2x2…アと直線yx…イの交点をA,Bとし,放物線上にある点をCとする。点Cのx座標はそのy座標の4倍であるとき。ただし,点Cは原点とは異なる点とする。
(1) 点Cの座標を求めよ。
【解】C(k,4k)として,アに代入すると,
4k=2k2より,k=2で, C(2,8)
(2) 点Pが放物線上を点Aから点Bまで動くとき,△ACBと△APBの面積が等しくなるような点Pの座標を求めよ。
【解】ABの平行線①(切片6)と②(切片3)を引く
②はyx+3…ウで,アウの交点がP
2x2x+3より,x=-1,で, P(-1,2) P(,)

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