2 関数
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18 放物線と直線5 (解答)
 明治大付属明治高校 (H27年)★★  駿台甲府高校 (H27年)★★
 y  1 x2 …ア
 2
【解】(右図参照)
(1) 点Sのy座標
直線PQの傾き= 1/2t2-1/2 t−1
t-(−1) 2
 y t−1 (x+1)+  1 t−1 x  t
2  2 2  2
よって,y  t
 2
(2) 点Tのy座標
T(0,k)とすると,△OPS=△SQTより,
   1 ×  t ×1=  1 (k  t )t   これを解いて,k t−1
   2  2  2  2 2
(3) △ORS=△OPQとなるとき
RS=PQだから,y座標の差より,
   t −0= t2  1 で,t2t−1=0
   2 2  2
t>0より,t 1+√5
2
 y  1 x2…ア y=−xa…イ
 2
【解】(右図参照)
(1) aの値を求めよ。
イの傾きが−1より,△BCDは直角二等辺三角形
 Bは斜辺CDの中点だから,直線OBはyx …ウ
ウより,B(k,k)とし,アに代入すると,
 k=1/2k2で,k=2となるから,B(2,2)
B(2,2)をイに代入して,2=−2+aで,a4
(2) 点Aの座標を求めよ。
1/2x2=−x+4より,x=2,−4で,A(−4,8)
(3) 点Eの座標
BからOAに平行線を引き,アとの交点をEとする。
OAの傾きは−2だから,
 BEの式は,y=−2(x−2)+2=−2x+6
 1 x2=−2x+6より,x2+4x−12=0
 2
 x=2,−6で,E(−6,18)
関西学院高等部 (H27年)★★★ 巣鴨高校 (H27年)★★★
 yax2…ア
【解】(右図参照)
(1) 直線l の方程式
アに(2,2)を代入して,a=1/2
y  1 x2…ア に
 2
 x=−4を代入して,y=8
A(−4,8),B(2,2)より,
 l の傾き=   2−8  =−1
2−(−4)
よって,y=−(x−2)+2で,y=−x+4
(2) 点Pの座標をすべて
l の切片Cは(0,4)で,
1/2CO=CQ=CQとなる2点をy軸上にとると,
  Q1(0,6),Q2(0,2) …イ
このとき,△Q1AB=△Q2AB=  1 △OAB
 2
1,Q2を通ってに平行な2直線m1,m2を引くと,
 イより,m1y=−x+6,m2y=−x+2…ウ
放物線アと2直線ウとの交点を求める。
 x2+2x−12=0より,x=−1±√13
 x2+2x−4=0より,x=−1±√5
よって,P(−1±√13,713)
  P(−1±√5,35) 複合同順 
 放物線cyx2 …ア
【解】(下の解説参照)
(1) 点Bのx座標
点Bのx座標をbとすると,
 ア上の2点の変化の割合より,
13 b=3で,b 23
12 12
(2) 直線mの式
点Cのx座標をcとすると,ACの傾きは−1/3より,
 (1)と同様に, 13 c=−  1 で,c 17
12  3 12
BCの傾き= 23 17  1
12 12  2
よって,y  1 (x 23 )+( 23 )2で,y  1 x 391
 2 12 12  2 144
(3) AM+BM+CMの長さ
AB= 5√10 より,BC=AB×√2 5√5  …イ
6 3
AM=BM=CM=1/2BC
 イより,与式=  3 BC= 5√5
 2
[解説] yax2で,xpqのとき
変化の割合= aq2-ap2 a(qp)(qp) a(pq)
qp qp

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