2 関数
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18 放物線と直線4 (解答)
千葉県立高校 (H29年) ★★  灘 高校 (H30年) ★★★
 関数yax2…ア のグラフと直線yx+2…イ が,2点A,Bで交わっている。2点A,Bのx座標が,それぞれ−2,4であるとき,

(1) aの値を求めなさい。
【解】イより,A(−2,1),B(4,4)
Bをアに代入して,4=
a×42で, a

(2) △OABの面積を求めなさい
【解】(右上図参照)
△OAB=△OAC+△OBC=×2×(4+2)=
6cm2

(3) 原点Oから直線y
x+2に垂線OHをひくとき,線分AHと線分HBの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
【解】(右上図参照)
OHは
y=−2xだから,x+2=−2xより,x=−
AH:HB=(AとHの
x座標の差):(HとBのx座標の差)
 =(−+2):(4+)=(6/5):(24/5)=
1:4
 yax2…ア ABはy=−x+2…イ 。
(1) aの値を求めよ。
【解】A(p,
ap2),B(q,aq2)とすると,
ア=イより,
ax2x−2=0で,(解と係数の関係)
 pq=−
a…ウ pq=−2/a…エ
△OAB=×2×(qp)=qp…オ
△ABC=×(−2p)×(
ap2aq2)=−ap(p2q2)
 ウより,△ABC=p(pq)…カ
オ=カよりp=−2で,
 ウよりq−2=−
a, エより−2q=−2/a
 これを連立させて解くと,
a
(2) Oを通り,四角形AOBCを2等分する直線の式
【解】(1)より,q
オより,△OAB=−(−2)=
△OAD=×AD×3= (右上図参照)
 AD=20/9で,D(,3)
よってODは,
y=(27/2)x
法政大女子高校 (H30年) ★★★ 慶應義塾志木高校 (H29年) ★★★
 放物線yax2…ア と直線ybx…イ がA,Bで交わっている。
(1) a,bの値を求めよ。
【解】
x座標をア,イに代入して,
Aの
y座標=9a=−3bより,18a+6b=1…ウ
Bの
y座標=abより,2ab=1 …エ
ウ,エを連立させて解くと,
a, b=−
(2) △ABCの面積を求めよ。
【解】(1)より,A(−3,),B(1,)
カは
y=−xで,オとの交点Cは
 −
x2=−xより,C(,−)
H(1,−)をとり,BHを底辺と考えて,
 △ABC=×BH×(AとCの
x座標の差)
  =×()×(+3)=
(3) 点Dの座標を求めよ。
【解】Cよりイに平行線キを引くと,△ABC=△ABD
キは,傾き−でC(,−)を通るから,
 
y=−(x)−で,y=−x…キ
オとキの交点Dは,−
x2=−xより,
 4
x2−4x−3=0で,(2x−3)(2x−1)=0
 Cと異なるから,
D(−,−)
 放物線がymx2…ア と直線yxn…イ の交点をA,B。
(1) △OABの面積を求めよ。円の面積Sを求めよ。
【解】A(p,p+1),B(q,q+1)とする
ア=イより,3
x2x−1=0で,qp=√13/3
 △OAB=×1×√13/3=
13/6
AB=√2(qp)より,半径は√26/6
 S=(√26/6)2π
13/18π
(2) △OABの面積が3となるとき,mの値を求めよ。
【解】A(−1,m)をイに代入して,mn−1
ア=イより,m
x2x−(m+1)=0
 (m
x+1){x−(m+1)}=0で,qm+1/m
△OAB=×(m+1){(m+1/m)+1}=3
 整理して,2m2−3m+1=0より,
m=1,
(3) ABを直径とする円の面積をmを用いて表せ。
【解】直径の円周角で,
∠AOB=90°
A(p,pn),B(q,qn)より,OAとOBの傾きの積は,
 pn × qn =−1で,n2+(pq)n+2pq=0
  p q
ア=イよりmx2xn=0で,pqは解だから,
 pq=1/m,pq=−n/mを代入して,
 n2n/m−2n/m=0より,mn=1
中心は(m,m)で,半径は√10/2m
S=( 10 )2π 5π
2m 2m2

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