2 関数
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19 放物線と直線6 (解答)
京都府立高校 (H27年)★★  日本大第二高校 (H27年)★★
 yax2…ア
【解】(右図参照)
(1) aの値,A,Bを通る直線の式
アに(−2,3)を代入して,
 3=4aで,a3/4
アにx=4を代入して,
 y=3/4×16=12で,B(4,12)
ABの傾き=  12−3 .  3
4−(−2)  2
 式はy  3 (x+2)+3で,y  3 x+6
 2  2
(2)回転させてできる立体の体積
C(6,27),D(6,15)だから,
 体積=  1 ×(6+2)2π×(27−15)=256π
 3
(3)点Eの座標
A,B,Dのx座標の差より,AB:BD=6:2=3:1
 △EAB:△EBD=3:1だから,
  △ABE:△EDC=3:4
よって,△ADE:△EDC=1:1で,AE=CE
E( −2+6 ,  3+27 )= E(2,15)
2 2
 yx2 …ア

【解】(右図参照)
(1) 直線l の方程式
A(1,1)を通り,傾き5だから,
 y=5(x−1)+1で,
  y=5x−4 …イ

(2) AP+BPの長さ
アとイの交点は,x2=5x−4より,
 B(4,16)A'(−1,1)をとるとき,
AP+BP=A'P+BP=A'B
 =√(4+1)2+(16−1)2=√2505√10

(3) 点Qの座標
A'(−1,1),B(4,16)より,
 直線A'Bはy=3x+4で,切片Pは(0,4)
Pを通り,l に平行な直線mは,y=5x+4 …ウ
Q(−4/5,0)
ウとx軸との交点は,0=5x+4より,x=−4/5
 よって,Q(−  4 ,0)
 5
土浦日本大高校 (H27年)★★  広島大付属高校 (H27年)★★★
 y  1 x2(x≧0)…ア
 3
【解】(右図参照)
(1) 直線PQの傾き
t秒後,P(t,0),Q(0,2t)だから,
 傾き= 2t−0 2t −2
0−t  t
(2) 9/2秒後の△ORSの面積
 9 秒後のPQは,y=−2x  9 ×2=−2x+9…イ
 2  2
アイの交点Rは,1/3x2=−2x+9を解いて,R(3,3)
S(−4,8)より,SRの傾き=   3−8 . =−  5
3−(−4)  7
 式は,y=−  5 (x−3)+3=−  5 x 36 …ウ
 7  7  7
ウよりSRの切片は,36/7で,
 △ORS=  1 × 36 {3−(−4)}=18
 2  7
(3) OR=PRとなるのは
△OPRが二等辺三角形で,イよりORはy=2x…エ
 エとアの交点Rは  1 x2=2xを解いて,R(6,12)
 3
Pのx座標はRの2倍で,x=12より 12秒後
 y  1 x2 …ア   R(0,6+t) …イ
 2
【解】(右図参照)
(1) 3一直線のとき,tの値
t秒後にP(2t,2t2),
 Q(−t,1/2t2),R(0,6+t)
PRの傾き=RQの傾きだから,
2t2−(6+t) (6+t)−1/2t2
  2t−0 0−(−t)
整理すると,t2t−6=0で,t>0より t=3

(2) 2秒後に∠PSQの大きさが最大
(i) 垂直二等分線とx軸との交点

P(4,8),Q(−2,2)で,PQの傾きは1,中点M(1,5)
垂直二等分線は,傾きは−1で,M(1,5)を通る
 y=−(x−1)+5=−x+6…ウ で,(6,0)
(ii) aの値
3点P,Q,Sを通る円で,Sがx軸の接点のとき,
 ∠PSQは最大(円外は円周角より小さい)
中心Oはウ上の点で,O(a,−a+6)
OP=OSより,(4−a)2+(8+a−6)2=(−a+6)2
 整理すると,a2+8a−16=0
a>0より,a−4+4√2

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