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19 放物線と直線5 (解答)
法政大第二高校 (H30年) ★ 慶應義塾志木高校 (H30年) ★★★
 放物線yax2(a>0)…ア と直線l が2点A,Bで交わっている。点Bの座標が(4,8)のとき,
(1) 定数aの値を求めなさい。
【解】
アに(4,8)を代入して,8=16
aより, a
(2) 直線l
y軸との交点をCとする。このとき,△OACと△OBCの面積の比が1:2となった。このとき,線分OCを軸として△OACと△OBCを1回転させてできる立体の体積をそれぞれV1,V2とする。V1:V2を最も簡単な整数の比で表しなさい。
【解】
△OACと△OBCは底辺OCが共通で,
 高さの比が1:2だから,B(4,8)よりA(−2,2)
よって,l
yx+4でC(0,4)

V1×22π×4=(16/3)π
V2×42π×(8−4)=(64/3)π
よって,V1:V2=(16/3)π:(64/3)π
1:4
 放物線y=3x2…ア に3点A,B,Cがあり,直線ABはx軸に平行,点Aのx座標は−3である。また,直線BCは放物線y=3x2と直線ABとで囲まれた部分の面積を二等分しており,その傾きはaである。
(1) 直線BCの方程式をaを用いて表せ。
【解】A(−3,27),B(3,27)
Bを通るから,
ya(x−3)+27で, yax+27−3a
(2) △BOCの面積Sを
aを用いて表せ。
【解】Cの座標を求める
3
x2ax+27−3aより,(x−3){3x−(a−9)}=0で,
 C( a−9 (a−9)2 ) で,また切片D(0,27−3a)
3 3
S=×DO×(CとBのx座標の差)
 =×(27−3a)×(3− a−9 )=(9−a)(18−a)
3
(3) 図の斜線部分の面積Tをaを用いて表せ。
【解】(右上図参照)
T+U=V+U(ともに半分)より,
T=V=ED・EB={(27−(27−3
a)}×3= a
 立命館高校 (H30年) ★★★ ラ・サール高校 (H30年) ★★★
 放物線yx2…ア と傾きの直線l があります。直線l と放物線の交点をA,Bとし,直線l x軸との交点を点Cとします。また,点Aの座標は(−2,)とします。点Pがx軸上の正の部分にあるとき,

(1) 点Bの座標を求めなさい。
【解】B(
b,b2)とすると,
アの,
xが−2〜bの変化の割合は,
 (−2+
b)=で,b=3より, B(3,3)
(2) ∠APB=90゜となるときの点Pの
x座標を求めなさい。
【解】(PAの傾き)×(PBの傾き)=−1
P(p,0)とすると, 0−4/3 × 0−3 =−1で,
p+2 3−p
 整理して,p2p−2=0より,p=−1,2
 p>0だから,p
2
(3) (2)のとき,△ACPを
y軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。
【解】(右上図参照)
l
yx+2で,C(−6,0),D(0,2)
PAは
y=−xで,E(0,)
体積=×62π×2−×22π×(2−)
 =24π−16/9π
200/9π
 放物線yx2…ア 上の3点A,B,Cのx座標はそれぞれ−1,3,t (1<t<3)で,点Mは線分ABの中点である。
(1) 点Mの座標を求めよ。
【解】A(−1,),B(3,15/2)…イ
M( −1+3 5/6+15/2 )= M(1,25/6)
2 2
(2) 直線ACおよび直線BCの傾きをそれぞれtの1次式で表せ。
【解】C(t,t2)とイより,
ACの傾き= 5/6t2−5/6 (t−1)…ウ
t+1
BCの傾き= 15/2−5/6t2 (t+3)…エ
3−t
(3) MA=MCのときtの値を求めよ。また,このとき三角形ABCの面積Sを求めよ。
【解】(右上図参照)
△ABCは,AM=BM=CMより,直角三角形
 AC⊥BCで,(ACの傾き)×(BCの傾き)=−1
ウエより,(t−1)×(t+3)=−1
 整理して,(5t+13)(5t−3)=0
 1<t<3より, t
C(,3/10)で,AC=(8/15)√10,BC=(12/5)√10
 S=×(8/15)√10×(12/5)√10
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