2 関数
文字サイズを小にすると,A4用紙に印刷できます
20 二つの放物線1 (解答)
 1 広島県立高校 (H30年) ★  3  筑波大附属高校 (H29年) ★
 関数yx2…ア のグラフ上に,2点A(2,4),B(−2,4)と0<x<2の範囲で動く点Cがあります。点Cを通りx軸に平行な直線と,関数yx2…イ のグラフとの2つの交点のうち,x座標が小さい方をDとします。
(1) 四角形BDCAが平行四辺形となるとき,線分CDの長さを求めなさい。
【解】(右上図参照)
CD=AB=2−(−2)= 4
(2) △BDCと△DOCの面積が等しくなるとき,直線ODの式を求めなさい。
【解】底辺DCが共通だから,等高であればよい。
つまり,(Dのy座標)=(Bのy座標)÷2=2
イにy=2を代入して,D(−2,2)で, y=−x
  関数yx2…ア のグラフ上の2点A,Bのx座標は,それぞれ−2,4である。
 関数y=−x2…イ のグラフ上に異なる2点C,Dを,右の図のようにとると,四角形ACDBは平行四辺形となった。
 このとき,Dのx座標は[  ]である。

【解】
アより,A(−2,2),B(4,8)
四角形ACDBは平行四辺形だから,
 AB//CDかつAB=CDで,
D(k,−k2)とすると,C(k−6,−k2−6)
Cをイに代入して,−k2−6=−(k−6)2
 12k=30で,k
城北高校 (H29年) ★★ 明治学院高校 (H30年) ★★★
 放物線アはyx2,放物線イはアのグラフを原点Oを中心に時計回りに60゜回転したものである。
 このとき,次の各点の座標を求めよ。ただし,P,Q,Rは原点とは異なる点である。

(1) アとイの交点P
【解】P(a,a2)とすると,
△POQは正三角形で,P(a,√3a
 a2=√3aとなるから,a=√3で, P(√3,3)

(2)イとx軸の交点Q
【解】
OP=OQ=2aより, Q(2√3,0)

(3)イとy軸の交点R
【解】R(0,2b)として,ウに関する対称点Sをとると,
△ROSは正三角形で,OS=OR=2b
 S(√3b,b)で,アに代入して,b=3b2より,b
R(0,2b)= R(0,)
 放物線yx2…ア 上に点Aと点Bが,放物線y=−x2…イ 上に点Cと点Dがある。点Aと点Dのx座標が8,点Bのx座標が−4,AB//DCであるとき,
(1) 点Bを通りy軸に平行な直線を引き,線分CDとの交点をPとする。線分BPの長さを求めよ。
【解】A(8,8),B(−4,2),D(8,−16)
BP=AD=8−(−16)= 24
(2) 四角形ABCDの面積を求めよ。
【解】ABの傾きは
CDは傾きで,Dを通るから,
 y(x−8)−16で,yx−20…ウ
イ=ウより,x=−10,8で,C(−10,−25)
面積=△BCP+ABPD
 =BP×(BとCのx座標の差)BP×(AとBのx座標の差)
 =×24×(−4+10)+24×(8+4)= 360
(3) 線分BC上に点Eがあり,線分DEは四角形ABCDの面積を二等分する。点Eのx座標を求めよ。
【解】△OCD=ABCD=180
OからCDに平行線エを引き,BCとの交点Eをとる
BCはyx+20,平行線はyxで,
 x+20=xより, x=−5

TOP] [問題に戻る] ★ 中  ★★ やや難  ★★★ 難