2 関数
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21 二つの放物線2 (解答)
 1  法政大高校 (H30年) ★★  3 関西学院高等部 (H30年) ★★
 直線l は2つの放物線yx2, yx2と4点A,B,C,Dで交わっている。
 Cの
x座標が3,Dのx座標が6のとき,

(1) 直線l の式を求めなさい。
【解】x座標を代入して,C(3,9),D(6,12)
l は2点C,Dを通るから,
 y 12−9 (x−3)+9で, yx+6 …ウ
6−3

(2) AD:BCを最も簡単な整数の比で表しなさい。
【解】
イ=ウより,x2−3x−18=0で,A(−3,3)
ア=ウより,x2x−6=0で,B(−2,4)
AD:BC=(DとAのx座標の差):(CとBのx座標の差)
 =(6+3):(3+2)= 9:5
 放物線yx2と傾きが4である直線l が2点A,Bで交わっており,点Aのx座標は2である。また,直線l と放物線yax2(a<0)が交わる2点のうち,x座標が負であるものをPとする。
(1) 直線l の方程式を求めよ。
【解】アにx=2を代入して,A(2,2)
l は傾き4でAを通る直線だから,
 y=4(x−2)+2で, y=4x−6 …ウ
(2) 点Bの座標を求めよ。
【解】ア=ウより,x2−8x+12=0で,x=2,6
 x>0だから, B(6,18)
(3) BA:AP=4:5となるとき,定数aの値を求めよ。
【解】P(t,4t−6)とすると,
BA:AP=(BとAのx座標の差):(AとPのx座標の差)
 =(6−2):(2−t)=4:5より,t=−3
P(−3,−18)で,これをイに代入して, a=−2
大阪教育大附属池田高校 (H29年) ★★ 市川高校 (H29年) ★★
 2つの放物線yx2,y=−x2上に, 図のようにADとBCはx軸に平行,ABとDCはy軸に平行になるように4点A,B,C,Dをとる。
(1) 点Aのx座標が−3のときの点Cのy座標を求めなさい。また,そのときの直線BDとy軸との交点の座標を求めなさい。
【解】アにx=−3を代入して,A(−3,9)で,D(3,9)
イにx=3を代入して,Cのy座標はy−3
交点はBDの中点で,B(−3,−3)より, (0,3)
(2) 四角形ABCDが正方形になるときの点Aの座標とその正方形の一辺の長さを求めなさい。
【解】D(k,k2)とすると,A(−k,k2),C(k,−k2)
AD=2k,DC=k2k2k2となるから,
 2kk2より,kで, A(−,)
 1辺の長さは,AD=×2= 3
(3) x軸上に2点E(t,0),F(−t,0)をとる。ただし,t>0とする。(2)で求めた正方形と同じ面積をもつ四角形AFEDをつくる。tの値を求めなさい。
【解】四角形AFEDは台形
上底AD=3,下底FE=2t,高さ=Dのy座標より,
 (3+2t÷2=32で, t
 a>0とする。原点をOとする座標平面上に,2つの放物線yax2…ア, y=−ax2…イ と,直線y=3ax−2a…ウがある。
 放物線アと直線ウの交点をA,Bとし,直線ウと
x軸との交点Cとする。また,放物線イ上にあり,点Bとx座標が等しい点をDとする。

(1) 点A,Bのx座標をそれぞれ求めなさい。
【解】ア=ウより,ax2−3ax+2a=0
a(x−1)(x−2)=0で,Aのx座標は 1,Bのx座標は 2
(2) △BADが∠BAD=90°の直角三角形となるとき,aの値を求めなさい。
【解】A(1,a),D(2,−a)
ABの傾き×ADの傾き=−1だから,
 aa ×3a=−6a2=−1より,a  1 . 6
 2−1 6 6
(3) (2)のとき,△BCDを直線ウを軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。
【解】
底面の半径AD=√15/3,高さBC=(2√10)/3より,
 体積=  1 ( 15 )2π× 2√10 10√10
 3 3 3 27

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