関　数	２４　放物線と四角形１　（略解）

１	愛知県立高校Ｂ　（Ｒ４年）　★	３	渋谷教育学園幕張高校　（Ｒ４年）　★★★
図で,0は原点,A,Bは関数y＝x2のグラフ上の点で,x座標はそれぞれ−2,4である。また,C,Dは関数y＝−x2のグラフ上の点で,点Cのx座標は点Dのx座標より大きい。四角形ADCBが平行四辺形のとき,点Dのx座標を求めなさい。 【解】AとBのx座標差は6 D(k,−k2)とすると, C(k＋6,−k2＋6) Cはy＝−x2上にあるから, 　−k2＋6＝−(k＋6)2 　k2−24＝k2＋12k＋36で, k＝−5		(1) 直線CDの式を求めなさい。 【解】ひし形は,対角線が中点で直交 中点M( −2＋4 2＋８ )＝M(1,5)…ア 2 ， 2 ABの傾き＝ 　8−2 . ＝1…イ 4−(−2) アイより,CDはy＝−(x−1)＋5で, y＝−x＋6 …ウ (2) 点Dの座標を求めなさい。 【解】Cのx座標c,Dのx座標dを求める x2＝−x＋6より,c＝−1＋√13 Mのx座標＝ (−1＋√13)＋d ＝1より,d＝3−√13 2 これをウに代入して, D(3−√13, 3＋√13)
２	愛光高校　（Ｒ５年）　★★★	４	東大寺学園高校　（Ｒ４年）　★★★
右の図のように,放物線y＝x2と直線y＝−x＋4が2点A,Bで交わっている。また,x軸上に点Pをとり,さらに四角形APBQが平行四辺形となるように点Qをとる。ただし,点Pのx座標は4より小さいとする。 (1) 点A,Bの座標を求めよ。答のみでよい。 【解】x2＝−x＋4より,x＝−4,2 A(−4,8) B(2,2) (2) 平行四辺形APBQの面積が,△AOBの面積の3倍となるような点P,Qの座標を求めよ。 【解】△APB＝△AOBになればよい DP:BO＝CP:CO＝3:2より, P(−2,0) D(−1,5)は対角線の交点だから, Q(0,10) (3) 平行四辺形APBQの周の長さが最も短くなるような点Pの座標を求めよ。 【解】B'(2,−2)をとると,AB'はy＝−x＋ …ア 点は右上図のEで,アにy＝0を代入して, P(,0)		図のように原点をOとするxy平面上に点A(−2,11)と放物線y＝x2上の3点B,C,Dがあり,四角形ABCDは平行四辺形である。CとDのx座標の差が2であるとき, (1) Cのx座標を求めよ。 【解】B(−4,4) C(c,c2)とすると, 　y座標より,(c＋2)2−c2＝11−4で, c＝6 (2) Oを通る直線l によって平行四辺形ABCDの面積が二等分されるとき,l の式を求めよ。 【解】l は,対角線の交点Mを通る ACの中点で,M(2,10)より, y＝5x (3) Oを通る直線mで平行四辺形ABCDを2つの部分に分け,Bを含むほうの図形の面積をS,Bを含まないほうの図形の面積をTとする。S:T＝2:3となるようなmの式を求めよ。 【解】△OEG∽△OFH(相似比は2:1) H,Gのx座標をk,2kとすると, 　S:(S＋T)＝(AG＋BH):2BC＝2:5で, 　x座標より,(2k＋2＋k＋4):20＝2:5 k＝, H(,)となって, y＝x

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