2 関数
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24 放物線と円 (解答)
 1  中央大杉並高校 (H26年) ★  3  明治学院高校 (H29年) ★★
 定数aの値を求めなさい。


【解】 P(k,k)とすると,

Pはyax2上の点だから,

 kak2より,k 1 …ア
a

Pは半円上の点だから,k2k2=102…イ

 アをイに代入すると,  1  1 =100で,a2  1
a2 a2 50

よって a>0より,a=    1 .  1.   √2
50 5√2  10



  
x軸,y軸に接している円Cがあり,中心はy=1/2x2上にある。

(1) 円Cの中心の座標
【解】中心を(t,1/2t2)とすると,
t 1 t2で,tt−2)=0より,t=2
2
よって,中心は (2,2)

(2) 円Cの中心と点Pを通る直線の式
【解】P(−4,8)だから,
直線の傾き=  2−8 . =−1
2−(−4)
傾き−1で(2,2)を通る直線だから,
 y=−(x−2)+2で,y=−x+4

(3) 点Pからもっとも離れた位置にある点
【解】(右上図参照)
直線の傾きが45°で,半径2だから,
 中心からx軸方向に+√2y軸方向に−√2
よって,(2+√2,2−√2
兵庫県立高校 (H29年) ★★ 城北高校 (H28年)★★★
 関数yax2…ア 上に3つの円がある。点A(−1,1)である。

(1) aの値を求めなさい。
【解】
アに(−1,1)を代入して,
 1=(−1)2aより,a=1

(2) 点Bの座標を求めなさい。
【解】円Bの半径をbとすると,B(b,b+2)
アに(b,b+2)を代入して,
 b+2=b2で,(b+1)(b−2)=0より,b=2
よって, B(2,4)

(3) 3点A,B,Cを通る円の半径は何cmか,求めなさい。ただし,座標軸の単位の長さは1cmとする。
【解】(右上図参照)
(2)と同様に,C(−c,c+6)とすると,
 アに代入して,c+6=(−c2より,C(−3,9)
D(2,1),E(2,9)とすると,△ABCは直角三角形
AC2=AF2+AC2より,AC=√22+82=2√17
よって,半径は 17cm
 
 yax2…ア は点(−3,3)を通る。

(1) aの値を求めよ。
【解】
アに(−3,3)を代入して,
 3=(−3)2aより,a=1/3
(2) 中心Pの座標を求めよ。
【解】円Pの半径をpとすると,B(p,1/3p2)
アに(p,1/3p2)を代入して,
 1/3p2pで,p=3より,中心 P(3,3)
(3) △OPQの面積を求めよ。
【解】直線my=6
(2)と同様に,Q(q,q+6)とすると,
 アに代入して,q+6=1/3q2より,Q(6,12)
Pからy軸に平行な線で△OPQを2分割して,
 △OPQ=1/2×3×6= 9
(4) 直線 lの切片を求めよ。
【解】切片をRとすると,
y軸と直線l が共通接線だから,
 直線PQは∠Rを2等分し,切片もl と重なる
PQの傾き= 12-3 =3,(3,3)を通るから,
6-3
 y=3(x−3)+3=3x−6で,切片は −6

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