関　数 ２５　放物線と四角形２　（略解）
１ 関西大倉学園高校　（Ｒ４年）　★★ ４ 明治学院東村山高校　（Ｒ４年）　★★
(1) aの値を求めよ。
【解】y＝ax2に(4,2)を代入して,
42a＝2で, a＝
(2) Pの座標を求めよ。
【解】1辺は8で,E(0,10)　Pのy座標は5
y＝x2にy＝5を代入して,x2＝5より, P(2√10,5)
(3) 正しいものを,①～⑨のうちから一つ選べ。
　①l1＜l2,.S1＜S2　②l1＜l2,.S1＝S2　③l1＜l2,.S1＞S2
　④l1＝l2,.S1＜S2　⑤l1＝l2,.S1＝S2　⑥l1＝l2,.S1＞S2
　⑦l1＞l2,.S1＜S2　⑧l1＞l2,.S1＝S2　⑨l1＞l2,.S1＞S2
【解】
l1＝32,l2＝4√65,S1＝64,S2＝20√10で, ③　　　		 (1) 2点C,Dの座標
【解】C(c,－c2)とすると,D(c－2,－c2－2)
y＝－x2にDを代入して,
　－c2－2＝－(c－2)2で,c＝
　よって, C(,－)　D(－,－)
(2) 平行四辺形ABCDの面積を二等分する直線の式
【解】直線は,対角線の交点Mを通る
ACの中点はM(－,－)より, y＝x
(3) (1)でできた平行四辺形ABCDの面積
【解】BCとx軸との交点E(,0)
ABCD＝2△ABC＝AE×(BとCのy座標差)
　＝(＋2)×(2＋)＝
２ 大阪星光学院高校　（Ｒ５年）　★★★ ５ 立命館慶祥高校　（Ｒ４年）　★★
　放物線y＝x2と直線y＝－2x－が2点A,Bで交わっている。
(1) 点Aのx座標は(　), 点Bのx座標は(　)
【解】x2＝－2x－より,x2＋4x＋3＝0
これを解いて, 点Aは－1, 点Bは－3
(2) 点Eのx座標をtで表すと(　　)となり,したがってt＝(　　)
【解】A(－1,) B(－3,)で, E(e,e2)とすると,
BC∥AEだから,傾き＝ (t2－9) ＝ (e2－1)
t＋3 e＋1
　t－3＝e－1で,Eのx座標は e＝t－2
A,B,Cの位置関係より,D(t＋2,t2－4)
Eは中点だから, (t＋2)＋(－1)＝2(t－2)で, t＝5
(3) 原点Oを通り,ABCDを二等分する直線の式はy＝(　　)
【解】対角線の交点,つまりAとCの中点Pを通る
C(5,)より,P(2,)となって, y＝x		 (1) 点Cの座標を求めなさい。
【解】ACBO　A(6,24) B(－3,6)より,
C(6＋3,24－6)＝C(9,18)
(2) 直線ABの式を求めなさい。
【解】傾きは2
y＝2(x＋3)＋6で y＝2x＋12
(3)2等分する直線の式を求めなさい。
【解】直線は,対角線の交点Mを通る
D(－6,0)　OAの中点M(3,12）
y＝(x＋6)で, y＝x＋8
(4) 点Pの座標を求めなさい。
【解】E(3,18)
OCAB＝2△ABC＝2{EC×(AとBのy座標差)}
　＝(9－3)×(24－6)＝6×18＝108
P(p,2p＋12)とすると,△OQP＝×10×(2p＋12)＝108で,
p＝24/5となって, P(24/5,108/5)
３ 慶應義塾女子高校　（Ｒ６年）　★★ ６ 早大高等学院　（Ｒ６年）　★★★
　放物線y＝x2上に3点Ａ(－2,4),B(b,b2),C(c,c2)があり,原点を通り四角形OABCの面積を２等分する直線をl ,直線ABと直線l の交点をDとする。直線ABの傾きは2で,直線l の式がy＝xのとき,
(1) bの値を求めなさい。
【解】ABはy＝2(x＋2)＋4＝2x＋8で,これにBを代入して,
b2＝2b＋8より, b＝4
(2) ,△OAD＝△ODEとなるような点Eのx座標
【解】2x＋8＝xより,D(,11)
AD＝DEより,Eのx座標は,x＝＋(＋2)＝5
(3) cの値として考えられるものをすべて答えなさい。
【解】ODBC＝△ODE＝OABCとなればよい
つまり,CE∥OBで,B(4,16)より,CEはy＝4(x－5)＋18＝4x－2
x2＝4x－2を解いて,x＝c＝2±√2		 (1) 直線BCの傾きとy切片
【解】B(－1,a),C(3,9a)
傾き＝ 9a－a ＝2a　y切片＝3a
3＋1
(2) 点Dのx座標を求めよ。
【解】A(－2,4a)
ADはy＝2a(x＋2)＋4a＝2ax＋8a…イ
ア＝イより,ax2＝2ax＋8aで,これを解いて, x＝4
(3) 四角形ABCDの面積をaの式で表せ。
ABはy＝－3ax－2a…ウ　 DCはy＝7ax－12a…エ
交点Pはウ＝エより, P(1,－5a)で,△PAD＝45a
△PBC∽△PAD(比2:3)より,ABCD＝△PAD＝25a
(4) ABCDのを2等分するものの傾きをaの式で表せ。
【解】ADの中点M(1,10a),BCの中点N(1,5a)
MNの中点Q(1,a)とE(0,3a)を通ればよいから,
　2等分線の傾き＝(a－3a)÷1＝a

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