2 関数
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31 動点 (解答)
 中央大杉並高校 (H27年)★★ 県立岡山朝日高校 (H27年)★★
 台形ABCDにおいて,∠ADC=120°とします。点Pは点Aを出発して,辺上を点B,Cを通って点Dまで秒速1cmで動きます。点Pが動き始めてからx秒後における△APDの面積をycm2として表したのが下のグラフです。
 台形ABCDの面積を求めなさい。





【解】(右図参照)

グラフより,AB=4cm,BC=5cm
△DCHで,DH=4cm,∠CDH=30°より
 CH= 4√3 cm
3
AD=5− 4√3 だから,
3
 面積=(5− 4√3 +5)×4÷2=20− 8√3 cm2
3 3
点Pが点Aを出発してx秒とする。

【解】(右図参照)

(1) △AEPが直角三角形
    (赤線)

BP=AE=3で,x=4+3=7

(2) 9≦x<13のとき,△AEPをx(青線)

DP=(4+5+4)−x=13−xだから,
 △AEP=  1 ×3(13−x)= 3(13−x (cm2)
 2 2

(3) △AEPが二等辺三角形となるxの値
・PがAB上のとき,x=AE=3
・PがBC上のとき,AEの垂直二等分線上で,
 BP=3/2より,x=4+3/2=11/2 (5.5)
・PがCD上のとき,EP=3で,
 DP=√32−22=√5
 x=4+5+(4−√5)=13−√5
長崎県立高校 (H27年)★★ ラ・サール高校 (H27年)★★★
 x秒後の△APQの面積をycm2



【解】(右図参照)

(1) x=2のとき,AQの長さ
AQ=4×2=8cm

(2) x=5のときyの値
PはB上,QはCの4cm下だから,
 y=4×(12−4)÷2=16

(3) [ア]〜[オ]にあてはまる数または式
・点QがAからDまで動くのは,
  [ア 0]≦x≦[イ 3]のとき,y=[ウ 2x2]
・点QがDからCまで動くのは,
  [イ 3]≦x≦[エ 4]のとき,y=[オ 6x]

(4) △APQが6cm2となるときのxの値
・ウより,2x2=6で,x=√3 
・エは解なし
・点QがDからCまで動くのは,4≦x≦7のとき,
 QBの長さ=(12+4+12)−x=28−xだから,
 y=4(28−4x)÷2=−8x+56=6で,x=25/4
 x秒後の三角形APQの面積をS

【解】(右図参照)
(1) 0<x<1のとき,
  Sをx(赤線)
△QAHは∠A=60°の直角三角形
S=  1 ×2x(3x× 3 )= 3√3 x2…ア
 2 2 2

(2) 1≦x≦2のとき,Sをx(青線)
S=  1 ×2x(3× 3 )= 3√3 x…イ
 2 2 2

(3) S= 4√3 となるxをすべて求めよ。
・アより, 3√3 x2 4√3 で,x 2√2
2 3 3
・イより, 3√3 x 4√3 で,x 8 (変域が不適)
2 3 9
・2<x<3のとき,(緑線)
S=  1 ×2x{(9−3x 3 )}= 3√3 (9x−3x2)= 4√3
 2 2 2 3
9x2−27x+8=0で,x  8 ,x  1 (変域が不適)
 3  3

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