3 図形 2 相似な図形 (略解)
東京工大附属科技高校 (R5年) ★★ 岐阜県立高校 (R4年) ★★
 図のように,△OABを点Oを中心として時計回りに60°だけ回転移動させたものを△OCDとする。

(1) 線分ORの長さを求めなさい。
【解】△AOCは正三角形
△DOR∽△DAC(相似比2:3)
 OR:AC=DO:DAより,OR:1=2:3で, OR=cm

(2) 長さの比AQ:QBを整数の比で表しなさい。
【解】△QAC∽△QBR
AQ:QB=AC:BR=1:(2-)=1:3:4

(3) 長さの比AP:QRを整数の比で表しなさい。
【解】
△ACP∽△BOP(相似比1:2)より,AP=AB…ア
(2)より,QR=CR=(CD)=CD…イ
 AB=CDだから,アイより, AP:QR=:7:4
(1) △ABD∽△CBEを証明しなさい。
【証明】
△ABD∽△CBEで
  ∠ABD=∠CBE(二等分)
∠ADB=∠CEB=∠CDE(底角・対頂角)
 2角相等より, △ABD∽△CBE
(2) AB=4cm,BC=5cm,CA=6cm
 @ CEの長さ
【解】△ABCで
 BA:BC=AD:CD=4:5
  (6−CD):CD=4:5より,CD=
 よって, CE=CD=
 A △ABDの面積は,△CDEの面積の何倍であるか
【解】
 (1)より,△ABD:△CBE=42:52=16:25
  △CBE=△ABD
 △CDE=△ABD−△ABD=△ABD
 よって, △ABD=△CDEで, 16/5倍
大阪府立高校B (R4年) ★★ 青雲高校 (R4年) ★★★
 四角形ABCDは内角∠ABCが鋭角の平行四辺形であり,AB=7cm,AD=6cmである。Eは,Cから辺ABにひいた垂線と辺ABの交点である。Fは直線DC上にあってDについてCと反対側にある点であり,FD=5cmである。EとFとを結ぶ。Gは,線分EFと辺ADとの交点である。Hは,Fから直線ADにひいた垂線と直線ADとの交点である。
(1) △BCE∽△DFHであることを証明しなさい。
【証明】△BCEと△DFHで,
  ∠CEB=∠FHD=90°(仮定)
∠EBC=∠HDF=∠ADC(平行四辺形の対角)
 2角相等より, △BCE∽△DFH
(2) DH=2cmであるとき,
 @ 線分BEの長さを求めなさい。
【解】(1)より,BE:2=6:5で,BE=cm
 A△FGDの面積を求めなさい。
【解】
△AEG∽△DFGより,AE=7−cm
 (6−GD):GD=:5で, GD=cm
FH=√21より,△FGD=××√2121cm
 BC=2√2cm,∠BAC=30°∠ACB=90°の△ABCがある。△DECは,△ABCを点Cを回転の中心として時計の針の回転と同じ向きに30°回転移動したものである。ACとDE,ABとDE,ABとCEの交点をそれぞれF,G,Hとするとき,
(1) 線分CFの長さを求めよ。
【解】△CEFは正三角形
 CF=CE=2√2cm
(2) 線分EHの長さを求めよ。
【解】△BCHは,30,60,90度
 CH=BC=√6より, EH=(2√2−√6)cm
(3) △GEHの面債を求めよ。
【解】△EGH∽△BCH
 GH=√3(2√2−√6)=√6(2−√3)より,
 △GEH=×√2(2−√3)×√6(2−√3)
  =(7√3−12)cm2
(4) 四角形CFGHの面積を求めよ。
【解】△CEF−△GEH
×2√2×(2√2×)−(7√3−12)=(12−5√3)cm2

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