図形 ６　円と三角形　（略解）
１ 明治学院高校　（Ｒ４年）　★★★ ３ 同志社高校　（Ｒ４年）　★★★
　点Oを中心とする半径2の円にAB＝AC,∠Aが鋭角の二等辺三角形ABCが内接している。

(1) 線分BDの長さを求めよ。
【解】（右上図参照）
△OBDで, BD＝√22−(√3)2＝1


(2) AE2の値を求めよ。
【解】△AOE∽△ABD(2角相等)より,
　2:2AE＝AE:(2＋√3)より,AE2＝2＋√3

(3) △AEFの面積を求めよ。
【解】△OBCは正三角形だから,∠A＝30°
(2)より,△AEF＝ ×AE× AE＝ 2＋√3 ＝ 2√3＋3
2√3 6
　線分PQと線分AB,ACとの交点をそれぞれD,Eとするとき,
【解】（右図参照）
(1) ∠PAQの大きさを求めよ。
△APQで,
∠P＝∠B＝30÷2＝15°
∠Q＝∠C＝90÷2＝45°
　よって,∠PAQ＝180−15−45＝120°
(2) 線分PQの長さを求めよ。
∠AOP＝2∠AQP＝45×2＝90°
∠AOQ＝2∠APQ＝15×2＝30°
△OPQは,120,30,30°PQ＝5√3cm
(3) 線分DEの長さを求めよ。
△OPDで,OD＝5/√3＝√3
△ADEで,DE＝AD＝OA−OD＝ 15−5√3 cm
3
２ 青雲高校　（Ｒ５年）　★★ ４ 東大寺学園高校　（Ｒ４年）　★★★
　中心Oの円に内接する△ABCについて,:::＝7:3:2である。BC＝a,CA＝b,AB＝cとするとき,

(1) bを,cを用いて表せ。
【解】中心角は弧の長さに比例するから,
∠AOB＝60°,∠AOC＝90°
△OACは直角二等辺三角形
　OA＝OC=cより, b＝√2c

(2) aを,cを用いて表せ。
【解】△ABCで,垂線AHをおろす
∠B＝45°,∠C＝30°
　a＝BH＋CH＝ c ＋ c ×√3＝ √2＋√6 c
√2 √2 2

(3) 円の半径をR,直線AOと直線BCの交点をDとするとき,ADの長さとBCの長さの積を,Rを用いて表せ。
【解】
△ADCで,∠ADC＝180−45−30＝105°
△ADC∽△BACより, AD:AC＝BA:BCで,
　AD×BC＝AC×BA＝√2R×R＝√2R2		 　AB＝14,AD＝10,BD＝6√2,∠BAC＝∠DAC

(1) 線分DEの長さを求めよ。
【解】（右上図参照）
△ABDで,BE:DE＝AB:AD＝7:5
　DE＝BD＝6√2×＝√2
(2) 線分BCの長さを求めよ。
【解】AE＝x,EC＝yとすると,
△BEC∽△AEDより,
　√2:x＝y:√2で,xy＝35/2…ア
△ABC∽△AEDより,
　14:(x＋y)＝x:10で,x2＋xy＝140…イ
アをイに代入して,x＝√10
　BC＝14( 　√2 × 5√2 )＝2√5
7√5 2
(3) 円Oの半径を求めよ。
【解】垂線DOで,AH＝zとすると,
△ABDで,102−z2＝(6√2)2−(14−z)2
　これを解いて,z＝8で,DH＝6
BDの中点Kをとると,△OKB∽△AHDで,
　OB＝BK＝3√2×＝5√2

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