3 図形
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7 円と四角形 (解答)
市川高校 (H26年) ★★ 灘 高校 (H26年) ★★★
(1) △ABE∽△DCA
[証明]
△ABEと△DCAにおいて,
 ∠ABE=∠DCA
  (弧ADの円周角)…ア
 ∠AEB=∠DBC(錯角)…イ
 ∠DAC=∠DBC(円周角)…ウ
イ=ウより,∠AEB=∠DAC…エ
ア,エより,2角相等で,△ABE∽△DCA

(2) △AFEと四角ABCDの面積比
【解】
△AFE:△ABE=1:3=16:48(仮定)
△ABE∽△DCA(相似比4:5)より,
 △ABE:△DCA=16:25=48:75
△AFE∽△CFB(相似比1:2)より,
 △AFE=△CFB=1:4=16:64
四角形ABCD=△ABE+△DCA+△CFB−△AFE
△AFE:四角ABCD
 =16:(48+75+64−16)=16:171
∠AEDの大きさ,DEの長さ
【解】
∠BDC=∠BEC=90°より,
 四角形DBCEは円に内接する。
∠DEB=∠DCB=45°
 (弧BDに対する円周角)
∠AED=180−(45+90)=45°
∠A=45°のとき,△ABEは直角二等辺三角形で,
 AB=4より,AE=4×  1 . =2√2
2
△AFEも直角二等辺三角形で,
 AE=2√2より,AF=FE=2√2×  1 . =2
2
△AFEで,ADは∠Aの二等分線だから,
 DE=xとすると,
FD:DE=(2−x):x=2√2=1:√2
 √2(2−x)=xで,(√2+1)x=2√2
x=DE=  2√2 . 2√2(√2−1) 4−2√2 
 √2+1    2−1 
西大和高校 (H25年) ★★★ 慶應義塾女子高校 (H25年) ★★
(1) ∠BADの大きさを求めよ。
【解】四角形ABCDは
  円に内接しているから,
∠BAD=180−60= 120°
(2) 辺BD,辺ADの長さ
【解】 右上図のようにPとQをとる。
∠DAF=∠DCF(弧DFの円周角)=∠ECF=60°
 ∠BAP=∠DAPで,AB:AD=BP:DP
 AD=xとすると,10:x=BP:PDで,
   PD:BD=x:(x+10)
△ADP∽△CDB(2角相等)より,
 x:16=PD:BD=x:(x+10)で,x=AD=6
∠BAQ=∠BCD=60°,∠Q=90°だから,
 AQ=5,BQ=5√3
△BDQで,BD2=(5√3)2+(5+6)2=75+121=196
よって,BD=√196= 14
(3) ∠GAC=∠GCAである
【解】
△ABD≡△CBF(1辺両端角相等)より,
 ∠ABD=∠CBF
 ∠GAC=∠CBF(弧CFの円周角)
 ∠GCA=∠ABD(弧ADの円周角)
よって,∠GAC=∠GCA

(4) CFの長さ
【解】(3)より,△ABD≡△CBFだから,CF=AD=6
 DC=x,EC=yとして
(1) AB:AC=[ア]:[イ]
  AB:AE=[ウ]:[エ]
  AE:AC= 1 :[オ]
【解】
△ABCと△DEC(2角相等)より,
 AB:DE=AC:DC
 AB:1=AC:xで,AB:AC=[ア 1]:[イx
△ABE∽△DCE(2角相等)より,
 AB:DC=AE:DE
 AB:x=AE:1で,AB:AE=[ウx]:[エ1
AB:AC=1:x,AE:AC=x2:xとなるから,
 AE:AC=1:[オx2
(2) x,yの値
【解】
AE:AC=1:2となるから,(1)よりx2=2で,x=√2
△ABC∽△DECより,BC:EC=AC:DC
 3√2:y=2y:√2で,2y2=6より,y=√3
(3) 1回転させた立体の体積
【解】
△ABE∽△DCEより,AB:√2=√3:1で,AB=√6
△ABCで,AB2=6,AC2=(2√3)2=12,BC2=18
 AB2+AC2=BC2となるから,∠BAC=90°
よって,体積=  1 ×(√6)2π×2√34√3π
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