図形 | 7 円と四角形 (略解) |
1 | 日大習志野高校 (R4年) ★★ | 3 | 神奈川県立高校 (R4年) ★★★ | |||||||||
四角形ABCDがACを直径とする半径5cmの円Oに内接している。 AB=5cm,CD=2√5cmのとき,∠ADB=[ ]度,BD=√ ( )cmである。 【解】△ABCで, ∠B=90°,AB=5,AC=10より ∠ACB=30°だから, ∠ADB=∠ACB=30度 △ACDで,AD=√102−(2√5)2=4√5 △ABDで,垂線AHを下ろすと, AH=2√5,DH=2√15,BH=√5 BD=√5+2√15=√5(1+2√3)cm |
線分ABは円Oの直径であり,2点C,Dは円Oの周上の点である。 また,点Eは線分AC上の点で,BC//DEであり,点Fは線分ABと線分DEとの交点である。 AE=2cm,CE=1cm,DE=3cmのとき,三角形BDFの面積は[ ]cm2である。 【解】垂線BHをおろすと,BH=1 △AED∽△BHD(2角相等)で,DH=, EH= △AEF∽△BHF(相似比2:1) FH=xとすると,EF:HF=(−x):x=2:1 これを解いて, x= △BDF=(+)×1=13/18cm2 |
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2 | 東大寺学園高校 (R5年) ★★★ | 4 | ラ・サール高校 (R4年) ★★★ | |||||||||
図のように,点Oを中心とする円0の周上に4点A,B,C,Dがあり,AB=BC=6,CD=10,DA=4を満たしている。 (1) △ABDの面積と△BCDの面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。 【解】DBは∠KDCの二等分線 BK=BHより,△ABD:△BCD=AD:CD=2:5 (2) 線分CD上にCE=6となる点Eをとるとき,△BEDの面積を求めよ。 【解】△ABD≡△EBDで,BE=6 △BCEは1辺6の正三角形で,BH=3√3 △BED=×4×3√3=6√3 (3) 線分BDの長さを求めよ。 【解】△BHDで BD=√(3√3)2+72=2√19 (4) 円0の半径を求めよ。 【解】△BDFの内角は,30,60,90°
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円に内接する四角形ABCDはAB=3,BC=CD,DA=5,∠BCD=60°を満たしている。 (1) 対角線AC,BDの長さ 【解】 正△ABFに垂線DHをとると, △BDHで, BD=√{(+5)2+(√3)2}=7 △ABC≡△FBDより, AC=FD=3+5=8 (2) ACとBDの交点をEとして, 線分の長さの比AE:EC 【解】 △AED∽△FBD(相似比5:8)より, AE=3×=で,EC=8−= よって, AE:EC=:=15:49 |
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[参考]トレミーの定理 AB×CD+AD×BC=AC×BD (左×右+上×下=対角線どうし) 上の(1)では 3×7+5×7=8×7 成り立つ |