 図形 |
７ 円と四角形 （略解） | |
| 図形 |
７ 円と四角形 （略解） | |
| １ | 日大習志野高校 （Ｒ４年） ★★ | ４ | 神奈川県立高校 （Ｒ４年） ★★★ | ||||||||||||
 四角形ABCDがACを直径とする半径5cmの円Oに内接している。AB＝5cm,CD＝2√5cmのとき,∠ADB＝[ ]度,BD＝√ ( )cmである。 【解】△ABCで, ∠B＝90°,AB＝5,AC＝10より ∠ACB＝30°だから, ∠ADB＝∠ACB＝30度  △ACDで,AD＝√102－(2√5)2＝4√5 △ABDで,垂線AHを下ろすと, AH＝2√5,DH＝2√15,BH＝√5 BD＝√5＋2√15＝√5(1＋2√3)cm |
 線分ABは円Oの直径であり,2点C,Dは円Oの周上の点である。また,点Eは線分AC上の点で,BC∥DEであり,点Fは線分ABと線分DEとの交点である。 AE＝2cm,CE＝1cm,DE＝3cmのとき,三角形BDFの面積は[ ]cm2である。 【解】垂線BHをおろすと,BH＝1 △AED∽△BHD(2角相等)で,DH＝  , EH＝ △AEF∽△BHF（相似比2:1） FH＝xとすると,EF:HF＝( －x):x＝2:1これを解いて, x＝  △BDF＝  (＋)×1＝13/18cm2 |
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| ２ | 東大寺学園高校 （Ｒ５年） ★★★ | ５ | ラ・サール高校 （Ｒ４年） ★★★ | ||||||||||||
 図のように,点Oを中心とする円０の周上に4点A,B,C,Dがあり,AB＝BC＝6,CD＝10,DA＝4を満たしている。(1) △ABDの面積と△BCDの面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。 【解】DBは∠KDCの二等分線 BK＝BHより,△ABD:△BCD＝AD:CD＝2:5 (2) 線分CD上にCE＝6となる点Eをとるとき,△BEDの面積を求めよ。 【解】△ABD≡△EBDで,BE＝6 △BCEは1辺6の正三角形で,BH＝3√3 △BED＝ ×4×3√3＝6√3(3) 線分BDの長さを求めよ。 【解】△BHDで BD＝√(3√3)2＋72＝2√19 (4) 円０の半径を求めよ。 【解】△BDFの内角は,30,60,90°
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 円に内接する四角形ABCDはAB＝3,BC＝CD,DA＝5,∠BCD＝60°を満たしている。(1) 対角線AC,BDの長さ 【解】 正△ABFに垂線DHをとると, △BDHで, BD＝√{(  ＋5)2＋(√3)2}＝7△ABC≡△FBDより, AC＝FD＝3＋5＝8 (2) ACとBDの交点をEとして, 線分の長さの比AE:EC 【解】 △AED∽△FBD(相似比5:8)より, AE＝3×  ＝ で,EC＝8－＝ よって, AE:EC＝ :＝15:49 |
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 [参考]トレミーの定理AB×CD＋AD×BC＝AC×BD (左×右＋上×下＝対角線どうし) 上の(1)では 3×7＋5×7＝8×7 が成り立つ |
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| ３ | 函館ラ・サール高校 （Ｒ６年） ★★ | (2) DCの長さを求めなさい。 【解】AB∥DCより,  ABCDは円に内接の等脚台形△ABD∽△ADE(比  : )より,AE＝AD＝  DC＝AB－2AE＝－×2＝ cm(3) 右の図は,台形ABCDとその台形に外接している円の一部である。図の斜線部分を直線ABを軸に1回転してできる回転体の体積を 求めなさい。 【解】回転体＝球－左右の円錐－中央の円柱 ＝  π×()3－ ×(√3)2π××2－(√3)2π×＝500/81π－125/108π－125/36π＝125/81π |
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 AB＝㎝,AD＝㎝,BD＝√3㎝である台形ABCD（AB∥DC）がある。この台形が円に内接している。(1) ∠ADBの大きさを求めなさい。 【解】△ABDで, AD2＋BD2＝( )2＋ (√3)2＝ （1＋3)＝100/9…アAB2＝ ( )2＝100/9 …イア＝イより, AD2＋BD2＝ AB2で,∠ADB＝90° (右へつづく→) |
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