3 図形
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 8 円と接線 (解答)
東邦大東邦高校 (H26年) ★ 早稲田実業高校 (H26年) ★★
 CDの長さ

【解】(右上図参照)

円Pの半径をxとするとき,(x≧1)

 △OPQで,(x−1)2+(4√5)2=92

   x2−2x=0より,x=2

 △PORで,(x+1)2+CD2=92

  x=2を代入して,CD2=81−9=72

よって,CD=√726√2
  
(1) △CO1O2の面積を求めよ。
【解】(右上図参照)
△O1O2Dで,,
 AB2+(9−4)2=(9+4)2
 AB=12
円外からの接線の長さは等しいから,
 CA=CO=CBで,
△O1CA≡△O1COかつ△O2CB≡O2COとなり,
 △CO1O=台形ABO2O1÷2
  =(4+9)×12÷2÷2=78÷2=39cm2
(2) △OABの面積を求めよ。
【解】
△OAB∽△CO1O2(2角相等)より,
 相似比は,AB:O1O2=12:13で,面積比は122:132
△OAB=△CO1O2× 122 =39× 144 432 cm2
132 169 13
巣鴨高校 (H25年) ★★  明治大中野高校 (H26年) ★★
(1) 線分ABの長さ
【解】
△OABで,
 AB=√132−52=√14412

(2) 線分AQの長さ
【解】
△OAMで,AM=√132−32=√160=4√10
△OQMで,QM=√552−32=√16=4
よって,AQ=4√10+4


(3) 線分ARの長さ
【解】AOとBCの交点をSとする。
△ABSと△OBSで,OS=xとおくと,
 BS2=122−(13−x)2=52x2で,x=25/13
△ARS∽△AOMより,
 AR:13=(13−25/13):(4√10+4−4)
よって,AR= 169−25  36 . 18 10
4√10 10 5
(1) CQ:AQを簡単な比で
【解】
右上図のように,点Rをとる。
∠KTA=∠ATB=∠BTC
 =a°とすると接弦定理より,
△TBRで,∠BRT=∠BTK=2a°
△ARTで,∠ART=∠ATK=a°
∠ART=∠ACT=a°(ATの円周角)
△PCTは二等辺三角形(∠C=∠T=2a°)
△CTPで,CT:CP=3:2より,
 CP=TP=2xとおくと,
  CT=3xで,TA=2x×(3/5)=(6/5)x
△TCAで,
 CQ:AQ=TC:TA=3x:(6/5)x5:2

(2) △CQBの面積の何倍か
【解】
△CQB AP × CQ × CB 2×5×3  6
△CTP TP AC PC 5×7×5 35
よって,△CTP= 35 △CQBで, 35 倍 
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