図形	９　二つの円　（略解）

１	桐光学園高校　（Ｒ５年）　★★	５	市立福山高校　（Ｒ４年）　★★
図のように半径がそれぞれ1,1,√2−1である３つの円が外接している。このとき,3つの円で囲まれた図形の面積を求めよ。 【解】3円A,B,Cの接点をP,Q,Rとする 面積＝△ABC−(扇形APR＋扇形BPQ＋扇形CQR) 　＝×(1＋√2−1)2−12π×−(√2−1)2π××2 　＝1−π−(3−2√2)π 　＝1＋(−1)π		2点A,Bをそれぞれ中心として,線分ABを半径とする円をかき,その2つの円の交点をC,Gとする。直線ACと点Aを中心とする円の交点のうち,Cではない方をD,直線AGと直線BDの交点をEとする，また,線分ABと線分CEの交点をFとする。 (1) △ADE∽△CDBを証明しなさい。 【証明】 △ABC,△ABGは正三角形 △ADEと△CDBで, 　 ∠DAE＝∠DCB＝60°(仮定) ∠ADE＝∠CDB(共通) 2角相等より, △ADE∽△CDB (2) AF:FBを求めなさい。ただし,最も簡単な整数の比で表しなさい。 【解】 (1)より,△ADE∽△CDB(相似比1:2) AG//CBより,△AEF∽△BCF(相似比1:2) よって, AF:FB＝1:2
２	東京工大附属科技高校　（Ｒ５年）　★★
影をつけた部分の面積 【解】 円Oで,扇形OAB＝(2√3)2π×＝4π 円Cで,扇形CAB＝62π×＝6π 影＝(扇形OAB＋△ABC)−扇形CAB 　＝4π＋×(×62)−6π＝(6√3−2π)cm2
３	早稲田佐賀高校　（Ｒ４年）　★★	６	東海高校　（Ｒ４年）　★★★
中心がOで線分ABを直径とする半円Cをかき,弧ABを3等分するように2点D,Eをとる。次に,線分AB上にO'とり,半径がO'Bである半円C'をかくと,C'は線分AE に点Pで接した。 (1) ∠PO'Aの大きさを求めよ。 【解】 ∠BOE＝60°より∠A＝30° △PO'Aで,∠PO'A＝90−30＝60° (2) AE＝3√3のとき,2つの半円の中心間の長さOO' を求めよ。 △EBAで,AE＝3√3より,EB＝3,AB＝6 △PAO'で,PO':AO'＝1:2,PO'＝O'Bだから, 　AO':O'B＝2:1 OO'＝xとすると,(3＋x):(3−x)＝2:1 　3＋x＝6−2xで, x＝OO'＝1		長さが6cmの線分ABを直径とする円Cと,円CにBで内接する半径2cmの円C'がある。 (1) 円C,円C',接線lで囲まれた斜線部は[　　]cm2である。 【解】2円の中心をP,Qとすると, △AQTで,∠A＝30°,∠BPR＝60° 斜線部＝(△APR＋扇形PBR)−半円C' 　＝(×3×√3＋32π×)−22π× 　＝√3＋π−2π＝√3−cm2 (2) 直線STと円Cの2つの交点を結んだ線分の長さは[　　]cm △QSTは正三角形で,PH＝√3×＝ △S'PT'で,S'T'＝2S'H＝2√　{32−()2}＝√33cm
４	桐朋高校　（Ｒ６年）　★★★	(2) AC＝5,BE＝8のとき,次のものを求めよ。 �@ △CBFの面積 【解】垂線CHをおろすと,BH＝BF＝4で,CH＝3 △CBF＝×8×3＝12 �A EFの長さ 【解】△CAG∽△GAEより,CA:AG＝GA:AE 　5:AG＝GA:18で,AG＝3√10 △GAE∽△BEFより,GA：AE＝BE:EF 　3√10:18＝8:EFで, EF＝√10 �B △GAEの面積 【解】△GAEは二等辺三角形で,AK＝9,GK＝3 △GAE＝×18×3＝27
右の図のように点Cを中心とし,線分ABを直径とする半円と,点Bを中心とし,線分DEを直径とする半円がある。 　ただし,Dは線分AC上の点である。との交点をFとし,線分EFとの交点のうち,Fとは異なる点をGとする。 (1) GA＝GEであることを証明せよ。 【証明】 ∠A＝∠F(弧BGの円周角)…ア ∠E＝∠F(半径BE＝BF)　…イ ア＝イより,∠A＝∠Eで, GA＝GE 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(右へつづく→)

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