3 図形
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9 二つの円 (解答)
関西学院高校 (H26年) ★ 東海高校 (H25年) ★★
(1) aの値
【解】(右上図参照)
x軸に垂線BE,DFをおろす。
△OBDで,
 ∠BOE=90−120÷2=30°
OB=2より,OE=√3,BE=1で,B(√3,1)
これをyax2に代入して,1=3aより,a1/3
(2) 大きい方の円の半径
【解】
△ODFで,∠DOF=90−90÷2=45°
△ODFは直角二等辺三角形だから,
 OF=DF=kとすると,D(kk)で,
これをy=(1/3)x2に代入して,k=(1/3)k2
 k2−3k=0より,k=3
よって,半径OD=√2k3√2
(1)【解】XA=XB=√2,AB=2で,
 △XABは直角二等辺三角形
△ABYは正三角形で,
 ∠BAY=60°
 ∠XAC=180−45−60=75°
△XACは二等辺△で,
 ∠ACX=∠XAC=75°
(2)【解】
∠YBF=180−45−60=75°だから,
 △XAC∽△YBF(二等辺△)で,∠BYF=30°
∠DYF=180-60-30=90°で,△YDFは直角二等辺△
四角形ACEB∽四角形FBAD(相似比は1:√2
ACEB=△XCE+△XAC+△XAB=(3+√3)/2
ACEB:FBAD:CEFD=1:2:3
よって,四角形CEFD= 3+√3 ×3= 9+3√3
2 2
日本大第二高校 (H25年) ★★ 東大寺学園高校 (H26年) ★★
(1)【解】円C1の中心をO,QRの中点をMとすると,△PQRは正三角形だから,Oは重心
よって,PM=  3 OP=  3 r 
 2  2
PR:PM=2:√3より,PR=  3 r×2÷√3=3r
 2
(2)【解】円C1で,∠QOR=120°より,
 弧QR=2πr× 120  2 πr…ア 
360  3
円C2で,∠QPR=60°より,
 弧QR=2√3πr× 60 3 πr…イ 
360 3
ア+イより,周の長さは, 2+√3  πr 
3
(3)【解】(扇形OQR+△OPQ+△OPR)−扇形PQR
扇形OQR=πr2× 120  1 πr2…ウ
360  3
△OPQ=△OPR=  1 ×√3r×  r 3 r2…エ
 2  2 4
扇形PQR=π(√3r)2× 60  1 πr2…オ
360  2
 ウ+エ×2−オより,斜線部分=  3√3−π r2
6
(1)【解】(右上図参照)
接弦定理より,同じ印の角(,)は等しいから,
△BDF∽△AFGで,
 DF:DB=FG:FA=1:2
DF=xとすると,DB=2x
FG//DBより,AF:AD=FG:DBで,
 14:(14+x)=7:2x よって,x=DF=14/3
(2)【解】
(1)より,AG:BG=AF:FD=14:(14/3)=3:1
BG=yとすると,AG=3y
△GAF∽△GEBより,3y:6=7:yで,y2=14
 y=√14より,AG=3y3√14
(3)【解】
垂線AHをおろし,GH=zとすると,
△AHGと△AHEで,
 AH2=(3√14)2z2=142-(7+z)2
これを解いて,z=3/2で,AH2=(3√14)2−(3/2)2
 AH=(3√55)/2
四角形AEBF=△AEF+△BEF
 =(1/2)EF(1+1/3)AH
 =  2 ×13× 3√55 13√55 
 3 2

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