 図形 |
１０ 内心と内接円 （略解） | |
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１０ 内心と内接円 （略解） | |
| １ | 明治大付属明治高校 （Ｒ５年） ★★ | ４ | 西大和学園高校 （Ｒ４年） ★★★ | |||||||||||||||||||||||||||||
△ABCの内接円の半径をrとするとき, (1) rをa,b,cを用いて表せ。 【解】 BC＝a＝(c－r)＋(b－r)より, r＝  (b＋c－a)(2) △ACDの内接円の半径をa,b,rを用いて表せ。 【解】 △ABC∽△DACより,
【解】 (2)と同様に,△DBAの内接円の半径＝cr/a
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 点Oを中心とする半径5の円が3点A,B,Cを通り,点I を中心とする半径2の円が△ABCの3辺すべてに接している。また,直線BI と点Oを中心とする半径5の円との交点で,点Bと異なる点をDとする。(1) DC＝DI であることを証明せよ。 ただし,∠IBA＝∠IBC…① ∠ICB＝∠ICA…② が成り立つことは,証明なしに用いてもよいものとする。 【証明】（右上図参照） 点Iは△ABCの内心 ∠ABD＝∠ACD＝x(円周角) △DCIで,∠DCI＝x＋y ∠DIC＝x＋y(外角)  ∠DCI＝∠DICより, DC＝DI(2) ∠IBCの大きさをb°とするとき,∠ODCの大きさをbを用いた式で表せ。 【解】△OCDで, ∠COD＝2b(中心角) ∠ODC＝(180－2b)÷2＝(90－b)° (3) 線分の長さの積 BI･DI の値を求めよ。 【解】△BEIと△OFDで,∠B＝∠O＝bより, △BEI∽△OFD(2角相等) BI＝p,DI＝qとすると,  p:5＝2: qで, pq＝BI･DI＝20(4) 線分OI の長さを求めよ。 【解】垂線OGをおろすと,BG＝DGで, DG＝ (p＋q), IG＝q－(p＋q)＝(q－p)△OIGと△ODGで, OG2＝OI2－IG2＝OD2－DG2より, OI2＝52－  (p＋q)2＋(q－p)2＝25－pq＝5よって,OI＝√5 |
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| ２ | 開成高校 （Ｒ５年） ★★★ | |||||||||||||||||||||||||||||||
 AB＝2√2,BP＝1であるとき,(1) AC,PCの長さをそれぞれ求めよ。 【解】APは∠Aの二等分線 PC＝xとおくと, 2√2:AC＝1:xで,AC＝2√2x △ABCで,(2√2)2＋(1＋x)2＝(2√2x)2 これを解いて,x＝  よって, AC＝ √2, PC＝ (2) △PAB,△PACの内接円の半径の比を求めよ。 【解】半径をr1,r2とすると, △ABPで,AP＝√(2√2)2＋12＝3 △ABP＝ (2√2＋1＋3)r1＝×2√2×1で,
(3＋＋ √2)r2＝××2√2で,
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| ３ | 國學院大久我山高校 （Ｒ６年） ★★ | ５ | 和洋国府台女子高校 （Ｒ６年） ★ | |||||||||||||||||||||||||||||
 右の図のような∠A＝90°,AB＝12,AC＝5の直角三角形ABCがある。この三角形の3つの辺すべてに接する円の半径は[ ]である。【解】中心Oから3垂線(半径x)を下ろす BD＝BE＝12－x…ア, CF＝CE＝5－x…イ ア＋イより,(12－x)＋(5－x)＝√122＋52 17－2x＝13で, 半径x＝2 |
 右の図のように,△ABCに内接する円があり,辺BC,CA,ABとの接点を,それぞれP,Q,Rとする。このとき,内接する円の半径を求めよ。【解】中心Oから3垂線(半径r)を下ろす △ABCで,62＋82＝102となり,∠A＝90° □AROQは正方形で, 半径r＝2cm |
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