図形	１０　内心と内接円　（略解）

１	明治大付属明治高校　（Ｒ５年）　★★	３	西大和学園高校　（Ｒ４年）　★★★
△ABCの内接円の半径をrとするとき, (1) rをa,b,cを用いて表せ。 【解】 BC＝a＝(c−r)＋(b−r)より, 　r＝(b＋c−a) (2) △ACDの内接円の半径をa,b,rを用いて表せ。 【解】 △ABC∽△DACより, 半径＝r× AC ＝r× b ＝ br BC a a (3) 線分PQの長さをrを用いて表せ。 【解】 (2)と同様に,△DBAの内接円の半径＝cr/a △PQHで,PQ2＝( br ＋ cr )2＋( br − cr )2 a a a a 　＝ 2(b2＋c2)r2 ＝ 2a2r2 ＝2r2 a2 a2 よって, PQ＝√2r		点Oを中心とする半径5の円が3点A,B,Cを通り,点I を中心とする半径2の円が△ABCの3辺すべてに接している。また,直線BI と点Oを中心とする半径5の円との交点で,点Bと異なる点をDとする。 (1) DC＝DI であることを証明せよ。 　ただし,∠IBA＝∠IBC…�@ 　　　　 ∠ICB＝∠ICA…�A 　が成り立つことは,証明なしに用いてもよいものとする。 【証明】（右上図参照） 点Iは△ABCの内心 ∠ABD＝∠ACD＝x(円周角) △DCIで,∠DCI＝x＋y　∠DIC＝x＋y(外角) 　∠DCI＝∠DICより, DC＝DI (2) ∠IBCの大きさをb°とするとき,∠ODCの大きさをbを用いた式で表せ。 【解】△OCDで, ∠COD＝2b(中心角) 　∠ODC＝(180−2b)÷2＝(90−b)° (3) 線分の長さの積 BI･DI の値を求めよ。 【解】△BEIと△OFDで,∠B＝∠O＝bより, 　△BEI∽△OFD(2角相等) BI＝p,DI＝qとすると, 　p:5＝2:qで, pq＝BI･DI＝20 (4) 線分OI の長さを求めよ。 【解】垂線OGをおろすと,BG＝DGで, 　DG＝(p＋q), IG＝q−(p＋q)＝(q−p) △OIGと△ODGで, 　OG2＝OI2−IG2＝OD2−DG2より, 　OI2＝52−(p＋q)2＋(q−p)2＝25−pq＝5 よって,OI＝√5
２	開成高校　（Ｒ５年）　★★★
(1) AC,PCの長さをそれぞれ求めよ。 【解】APは∠Aの二等分線 PC＝xとおくと, 　2√2:AC＝1:xで,AC＝2√2x △ABCで,(2√2)2＋(1＋x)2＝(2√2x)2 　これを解いて,x＝　よって, AC＝√2, PC＝ (2) △PAB,△PACの内接円の半径の比を求めよ。 【解】半径をr1,r2とすると, △ABPで,AP＝√(2√2)2＋12＝3 　△ABP＝(2√2＋1＋3)r1＝×2√2×1で, 　　r1＝ 　2√2 . ＝ 　1　. ＝√2−1 2√2＋4 √2＋1 　△APC＝(3＋＋√2)r2＝××2√2で, 　 r2＝ 　3√2　. より, r1 ＝(√2−1)× 5＋3√2 ＝ 2√2＋1 5＋3√2 r2 3√2 3√2 よって, r1:r2＝(2√2＋1):3√2

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