3 図形
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11 正三角形 (解答)
日本大習志野高校 (H26年) ★★ 中央大杉並高校 (H28年) ★
(1) 正三角形ABCの1辺の長さ
【解】△APDは,30°60°90°で,
AD:5=√3:1より,AD=5√3で,AB=5√3×2=10√3cm
(2) 円Qの半径
【解】
円Qの半径をxとすると,AE=√3x
ED=AD−AE=5√3−√3x=√3(5−x)…ア
QR=ED= 3 QP= 3 (x+5)=√3(5−x
 2  2
これを解いて,x5/3 cm
(3) 線分DEの長さ
【解】アにx=5/3を代入して,
DE=√3(5−5/3)= (10√3)/3 cm
 △ECFの面積を求めなさい。

【解】(右上図参照)

2組の角が等しいから,
 △DBE∽△ECF
DB:EC=BE:CFより,
 16:24=6:CFで,CF=9
Fから垂線FHを下すと,
 △FHCは30,60,90°の直角三角形で,
 FH= 3 CF= 9√3
2 2
△ECF= 1 ×24× 9√3 =54√3
2 2
大阪星光学院高校 (H25年) ★★ 清風高校 (H26年) ★★★
 正三角形AEFの面積は[ ]
【解】(赤図参照)
BE=DF=xとすると,
 CE=CF=1−x
△ABEと△CEFで,
 (正三角形の1辺)2
  =12x2=2(1−x)2
 1+x2=2x2−4x+2
 x2−4x+1=0…ア
 0<x<1より,x=2−√4−1=2−√3…イ
ア,イより,AE2x2+1=4x=8−4√3
△AEF= 3 ×(1辺)2 3 ×(8−4√3)=2√3−3 
 4  4
【別解】(青図参照)EFの中点をM
EM=yとすると,AM=√3y,CM=yだから,
 AC=√3yy=√2で,y=(√6−√2)/2
△AEF=(1/2)×2y×√3y=√3y22√3−3
(1) BCの長さ
【解】BC=√82+424√5cm
(2) △DBCの面積
【解】1辺4√5の正三角形
△DBC=(√3/4)×(4√5)2
 =20√3cm2
(3) 交点をE,Fとする。
(ア) BEの長さ
【解】△BHE∽△BACより,
 BE:4√5=2√5:8で,BE=5cm
(イ) 線分の長さの比 (DF/CF) の値
【解】前問よりEH=√5で,DE=DH-√5=2√15-√5
△BEH∽△DEIより,2√5:DI=5:(2√15−√5)
 DI=(20√3−10)÷5=4√3−2
△DFI∽△CFAより, DF DI 4√3−2 2√3−1
CF CA 4 2
(4) lgの交点をGとするとき,
(ア) 2つの角の和
【解】CM=AM=4,∠AMC=45°で,∠BMC=135°
lgは垂直二等分線だから,
 GB=BM=GC(半径)で,
 3点B,M,CはGを中心とする円周上にある。
∠BMC=135°より,∠BGC=360−135×2=90°
四角形MBGCで,2角の和=360−(135+90)=135°
(イ) AGの長さ 〜清風高校の解答つづき〜
【解】△JACと△GBCは直角二等辺三角形で,
JA=JC=2√2,CG=2√10
△GCJで,GJ=√(2√10)2−(2√2)2=4√2
よって,AG=2√2+4√26√2cm

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