図形 12 二等辺三角形 (略解)
盈進学園高校 (R5年) ★★ 灘 高校 (R5年) ★★
 次のようなAB=AC,BC=AD=CD,BC=1cmの図形があります。

(1) ∠ADCの大きさを求めなさい。
【解】∠A=xとする
△ABCで,x+2x+2x=180より,x=36°
 ∠ADC=180−36×2=108°

(2) BDの長さを求めなさい。
【解】△CBD∽△ABC
BD=yとすると, y:1=1:(1+y)で, y(1+y)=1
 y2y−1=0より, BD=y(√5−1)/2cm

(3) ACの長さを求めなさい。
【解】 AC=1+y(√5+1)/2cm
 右の図において,BD=DC=CA,BE=EAである。∠DEAの大きさが32度のとき,∠ABCの大きさは( )度である。

【解】
△DBCは二等辺三角形(∠B=∠D)
△EABは二等辺三角形(∠A=∠B)
 よって,∠DAE=∠DCEで,ADECは円に内接

△CAD(二等辺三角形)で,∠C=∠ADE=32°
 ∠CDA=(180−32)÷2=74°

△DAB(二等辺三角形)で, ∠ABC=74÷2=37
 
ラ・サール高校 (R4年) ★★★ 早大高等学院 (R4年) ★★★
 △ABCはAB=AC=1,∠BAC=120°の二等辺三角形である。∠ABCの二等分線と辺ACの交点をDとし,CD=CEとなる点Eを辺BC上にとる。次に,BC上にDE//AFとなる点Fをとり,AFとBDの交点をGとする。このとき,EFの長さと△AGDの面積を求めよ。


【解】(右図参照)
BDは二等分線だから,
 △ABCで,AD:CD=1:√3
 AD=AC×   1 .   1 . 3−1
1+√3 3+1 2
CD=CE,DE//AFより,
 EF=DA= 3−1
2



△ABD= 3−1 △ABC= 3−1 × 3 3−√3 …ア
2 2 4 8
BF:FE=BG:GD=(√3−1): 3−1 =2:1 …イ
2
アイより, △AGD= △ABD= 3−√3
24
 AB=AC,BC=1,∠ABC=72°の二等辺三角形ABCについて,

(1) 線分 CDの長さを求めよ。
【解】(右図参照)
BC=BD=AD=1より,
 AB=xとすると,CD=x−1
△ABC∽△BCDより,x:1=1:(x−1)
 x2x−1=0で, x 1+√5
2
CD=x−1= 1+√5 −1= 5−1
2 2

(2) 頂点Bから辺ACへ垂線をひき,辺ACとの交点をEとするとき,BE2の値を求めよ。
【解】(右図参照)
△ABHで,AH2x2−()2
△ABH∽△BCEより,x:1=AH:BEで,
 BE2 AH2 x2−()2 =1−  1 .
x2 x2 4x2
  =1−   1 . 5+√5
6+2√5 8

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