図形	１２　二等辺三角形　（略解）

１	盈進学園高校　（Ｒ５年）　★★	４	灘　高校　（Ｒ５年）　★★
次のようなAB＝AC,BC＝AD＝CD,BC＝1cmの図形があります。 (1) ∠ADCの大きさを求めなさい。 【解】∠A＝xとする △ABCで,x＋2x＋2x＝180より，x＝36° 　∠ADC＝180−36×2＝108° (2) BDの長さを求めなさい。 【解】△CBD∽△ABC BD＝yとすると, y:1＝1:(1＋y)で, y（1＋y）＝1 　y2＋y−1＝0より, BD＝y＝(√5−1)/2cm (3) ACの長さを求めなさい。 【解】 AC＝1＋y＝(√5＋1)/2cm		右の図において,BD＝DC＝CA,BE＝EAである。∠DEAの大きさが32度のとき,∠ABCの大きさは(　)度である。 【解】 △DBCは二等辺三角形(∠B＝∠D) △EABは二等辺三角形(∠A＝∠B) 　よって,∠DAE＝∠DCEで,ADECは円に内接 △CAD(二等辺三角形)で,∠C＝∠ADE＝32° 　∠CDA＝(180−32)÷2＝74° △DAB(二等辺三角形)で, ∠ABC＝74÷2＝37度
２	ラ・サール高校　（Ｒ４年）　★★★	５	早大高等学院　（Ｒ４年）　★★★
△ABCはAB＝AC＝1,∠BAC＝120°の二等辺三角形である。∠ABCの二等分線と辺ACの交点をDとし,CD＝CEとなる点Eを辺BC上にとる。次に,BC上にDE//AFとなる点Fをとり,AFとBDの交点をGとする。このとき,EFの長さと△AGDの面積を求めよ。 【解】（右図参照） BDは二等分線だから, 　△ABCで,AD:CD＝1:√3 　AD＝AC× 　　1　. ＝ 　　1　. ＝ √3−1 1＋√3 √3＋1 2 CD＝CE,DE//AFより, 　EF＝DA＝ √3−1 2 △ABD＝ √3−1 △ABC＝ √3−1 × √3 ＝ 3−√3 …ア 2 2 4 8 BF:FE＝BG:GD＝(√3−1): √3−1 ＝2:1　…イ 2 アイより, △AGD＝ △ABD＝ 3−√3 24		AB＝AC,BC＝1,∠ABC＝72°の二等辺三角形ABCについて, (1) 線分 CDの長さを求めよ。 【解】（右図参照） BC＝BD＝AD＝1より, 　AB＝xとすると,CD＝x−1 △ABC∽△BCDより,x:1＝1:(x−1) 　x2−x−1＝0で, x＝ 1＋√5 2 CD＝x−1＝ 1＋√5 −1＝ √5−1 2 2 (2) 頂点Bから辺ACへ垂線をひき,辺ACとの交点をEとするとき,BE2の値を求めよ。 【解】（右図参照） △ABHで,AH2＝x2−()2 △ABH∽△BCEより,x:1＝AH:BEで, 　BE2＝ AH2 ＝ x2−()2 ＝1− 　1 . x2 x2 4x2 　　＝1− 　　1　. ＝ 5＋√5 6＋2√5 8
３	盈進高校　（Ｒ６年）　★	(2) 辺CFの長さを求めなさい。 【解】(1)より,CF:DF＝1:4 CF＝4×＝cm (3) △CFGの面積がxcm2であるとき,△CDEの面積をxを用いて表しなさい。 【解】(1)より,△DFE＝16ｘ CD＝FDで,面積が底辺に比例するから，16x×＝20xcm2
△ABCは,AB＝CB＝6cmの二等辺三角形,△CDEは,CD＝ED＝4cmの二等辺三角形であり,この2つの三角形は相似である。また,A,C,EとE,F,G,Hは,それぞれ同一直線上にあるものとする。CG＝1cmのとき, (1) △CFGと△DFEの面積比を求めなさい。 【解】BC//DEより,△CFG∽△DFE(相似比1:4) △CFG：△DFE＝12:42＝1:16 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(右へつづく→)

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