3 図形
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13 直角三角形 (解答)
明治大明治高校 (H26年) ★★ 大阪教育大平野高校 (H25年) ★★
(1) △BEFの面積を求めよ。

【解】
EからFBに垂線EHをおろす。
△HBEと△ABCにおいて,
 ∠H=∠A=90°
 ∠HBE=∠ABC=90°−∠ABH
2角相等より,△HBE∽△ABC…ア
EH:AC=BE:BCより,
 EH:3=4:5で,EH=12/5
よって,△BEF=(1/2)×5×(12/5)=6

(2) EFの長さを求めよ。

【解】
アより,HB:AB=BE:BCで,HB:4=4:5
 HB=16/5となるから,HF=16/5+5
△HEFで,EF2=(12/5)2+(16/5+5)2=73
 よって,EF=73  
 AB=AD+BEが成り立つ


[証明]

AMの中点をMとすると,

 AM=BM=CMだから,

 AB=AM+BM=2CM…ア

中点連結定理より,

 2MF=BHで,2MC=AD+BE…イ

ア=イより,AB=AD+BE



 
佐賀県立高校 (H26年) ★★  東海大浦安高校 (H26年) ★★
(1) ADの長さ
【解】
∠ABC=60°,
∠BAC=30°だから,
 AB=4×2=8
AD=AB−DB=4−2=2cm

(2) △ADCの面積
【解】
△ADEで,DE=2,AE=2√3
よって,△ADC=(1/2)×4√3×2=4√3cm2

(3) 1回転させてできる立体の体積
【解】
AからCDに垂線AHをおろすと,
 ∠ADE=60°,DH=2
底面の半径AH=2√3,高さCH=4+2=6の円すい
よって,体積=(1/3)×(2√3)2π×(6−2)=16πcm3

(4) 三角すいABCDの体積
【解】
ADは底面に垂直で,高さAH=2√3cmのとき,
体積=(1/3)×△DBC×4
 =   1 ×( 3 ×42)×2√38cm3
 3 4
(1) 円Oの半径

【解】
半径をxとする。
△AOD∽△OBE∽△ABCで,
  3辺の比は,3:2:√13
△AODで,AD:OD=3:2より,
 (3−x):x=3:2
2(3−x)=3xより,x6/5(cm)




(2) 斜線部分の面積

【解】
扇形ODF(中心角60°)=(  6 )2π×  60  6 π
 5 360 25
扇形OEG(中心角30°)=(  6 )2π×  30  3 π
 5 360 25
よって,斜線部分の面積=△ABC
  −(扇形ODF+扇形OEG+正方形ODCE)
 =(1/2)×2×3−(9/25)π−(6/5)2
 =   39−9π (cm2)
25
 

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