図形
15 長方形 (略解)
明大付属中野高校 (R4年) ★★ 愛知県立高校A (R4年) ★★
 ABCDの辺BC上に点EをBE:EC=1:2,辺CD上に点FをCF:FD=3:1となるようにとります。AEとBFの交点をGとします。△AFDの面積が30cm2であるとき,AGFDの面積を求めなさい。


【解】(右図参照)点Hをとる
△ABF=4△AFD=120cm2
△ABE∽△HCE(1:2)より,AB:HC=4:8
△ABG∽△HFG(4:11)より,BG:FG=4:11で,
 △AGF=△ABF=120×=88
AGFD=△AFD+△AGF=30+88=118cm2 
 ABCDは長方形であり,EはABCDの内部の点で,∠BAE=45°である。
 ABCD,△ABE,△AEDの面積がそれぞれ80cm2,10cm2,16cm2のとき,

(1) △DCEの面積は何cm2か,求めなさい。
【解】
△ABE+△DEC=ABCD
 10+△DEC=40より,△DEC=30cm2
(2) 辺ABの長さは何cmか,求めなさい。
【解】垂線EHをおろすと,
AH:BH=△AED:△BEC=16:24=2:3より,
 △AHE=△ABE=4で,AH=2√2
AB=AH=2√2×5√2cm 
広島大附属高校 (R5年) ★★ 立命館高校 (R4年) ★★
 長方形には,図1,図2のように…の線で2つに分割して並べ替えることで,正方形にすることができるものがあります。図1のような切り方を「2段切り」,図2のような切り方を「3段切り」とよぶことにします。
 縦の長さが128cm,横の長さがxcmの長方形を「7段切り」して正方形にできるとき,xの値を求めなさい。


【解】合同な長方形が,縦8×横7→縦7横8
縦は,128÷8=16cm 横は,16×7÷8=14cm
 よって, x=14×7=98
 AB=8cm,BC=6cmのABCDにおいて,点Eは辺ABの中点で,点Fは辺DA上にあり,DF:FA=1:2です。対角線BDと,CEとCFとの交点をそれぞれ点Gと点Hとします。

(1) △CGHの面積を求めなさい。
【解】
△GEB∽△GCD(相似比1:2) …ア
△HBC∽△HDF(相似比3:1) …イ
BD=xとすると,アイより,
 BG:GH:HD=x:(xxx):x=4:5:3 …ウ
△CGH=△CBD=×24=10cm2
(2) BG:GH:HD=a:5:bのとき,a,bの値
【解】
(1)のウより, a=4, b=3
(3) 五角形AEGHFの面積を求めなさい。
【解】
ABCD−△CEB−△CHG−△CDF
 =48−12−10−8=18cm2
(4) FH:HG:GE=c:25:dのとき,c,dの値
【解】
FH=FC=×2√1717
HG=DB=×10=
GE=EC=×2√1313
c:25:d17::13より, c=3√17,d=4√13
駿台甲府高校 (R5年) ★
 右図の四角形ABCDは,AB=12cm,AD=18cmの長方形である。線分CD上に点E,線分AE上に点Fがあり,CE:ED=1:3,AF:FE=1:2である。
 このとき,線分BFの長さを求めよ。

【解】
HB=12×=9, HF=18×=6
△HBFで,√92+62=√1173√13cm

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