図形 16 正方形 (略解)
都立墨田川高校 (R5年) ★ 和歌山県立高校 (R4年) ★★★
 右の図において,四角形ABCDは正方形,弧ACは,頂点Bを中心とし,線分BAを半径とする円の周の一部である。
 弧AC上にあり,頂点A,頂点Cのいずれにも一致しない点をEとし,頂点Aと点E,頂点Cと点Eをそれぞれ結ぶ。
 このとき,∠EAD+∠ECDの大きさは何度か。

【解】∠AEC=270÷2=135°
∠EAD+∠ECD=180−(∠BAD+∠BCE)
 =180−(360−90−135)=180−135=45°
 
 1辺が6cmの正方形ABCDの辺BC上に点P,辺CD上に点Qがある。
 BP=PC,∠BAP=∠CPQのとき,3点A,P,Qを通る円の半径を求めなさい。


【解】(右図参照)
△ABP∽△PCQ(相似比2:1)で,CQ=
∠APQ=xy=90°で,AQが円の直径
△AQDで,AQ=√{62+(6−)2}=
 半径OA=÷2=cm
 
ラ・サール高校 (R5年) ★★★ 大阪教育大付属平野校舎 (R4年) ★★★
(1) 長さの比 EP:PG
【解】Qをとると,△AEP∽△QGP
EP:PG=AE:GQ=2:(2+6)=1:4

(2) 四角形APGHの面積
【解】
△AEP∽△AFB(相似比2:√10より,面積比2:5)
△AEP=△AFB=×
APGH=AEGD−△AEP−△HGD
 =−1=29/10
 
 正方形ABCDがある。辺AB,BCの中点をそれぞれE,Fとし,CEとDFの交点をGとする。



(1) △CFG∽△CBEであることを証明しなさい。

【略証】
△DCF≡△CBE(2辺夾角相等)…ア
△CFG∽△CBEで,
∠GFC=∠BEC(アより)
∠FCG=∠ECB(共通)
2角相等より, △CFG∽△CBE


(2) 比 EG:DG:DE を求めなさい。

【解】(1)より,∠G=∠B=90°
△CBEより,3辺は,1:2:√5
△CBE∽△CFG(相似比√5:1)
 GF=1とすると,BE=CF=√5で,EG=5−2=3
DF=DE=5より,△DEGで,DG=√52−32=4
よって, EG:DG:DE=3:4:5
 
城北高校 (R4年) ★★★
 四角形ABCDは,1辺の長さが15の正方形であり,AFは∠DAEの二等分線である。このとき,DFの長さを求めよ。

【解】(右図参照)
延長点Gをとる
△ABE∽△GDA(相似比8:15)より,
 DG=AB=, AG=AE=
△AGDで,GF:DF=AG:AD=:15=17:8
DF=xとすると,(x):x=17:8
 17x=225−8xで, x=DF=9
  

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