3 図形
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 16 長方形    月   日(  )
日本大習志野高校 (H25年) ★★ 灘 高校 (H25年) ★★★
 右図のように,AB=60cm,AD=40cmの長方形ABCDがある。頂点Aから球がまっすぐに打ち出され,辺にあたったとき,同じ角度ではね返り,頂点A,B,C,Dのいずれかに行けば止まる。 頂点Aから打ち出された球が初めに辺にあたる点をP,2回目に辺にあたる点をQ,3回目に辺にあたる点をRとする。(1) ∠DAP=45°のとき,球が辺にはね返る回数を求めなさい。



(2) 点Qが辺DCの中点であるとき,AP+PQの長さを求めなさい。



(3) 点Rが辺BCの中点であるとき,CPの長さを求めなさい。


  
 長方形ABCDの辺BC,CD,DA上にそれぞれ点E,F,Gをとり,線分EG上に点Hをとると右図のようになり,四角形ABEG,HECFはともに正方形となった。なお,答えが複数ある場合は,それらをすべて答えること。
(1) 長方形ABCDの面積が長方形GHFDの面積の6倍であるとき,BE:ECをできるだけ簡単な整数の比で表せ。





(2) △ABCの面積が6,△FDGの面積が1であるとき,正方形ABEGの面積を求めよ。





 
秋田県立高校 (H26年) ★★  滋賀県立高校 (H25年) ★★
 図のように長方形ABCDがあり,辺DCの中点をEとする。線分AEの垂直二等分線と辺AD,辺BCとの交点をそれぞれF,Gとし,線分AEと線分FGの交点をHとする。
(1) △AED∽△AFHとなることを証明しなさい。
[証明]







(2) AB=8cm,AD=12cmとするとき,
(ア) △AGFの面積を求めなさい。求める過程も書きなさい。






(イ) 線分AGの長さを求めなさい。




  
 与えられた長方形と面積の等しい正方形をつくることを考える。
(1) 図1のように長方形ABCDの辺AD上に点Pをとり,BQ⊥CPとなる線分CP上の点をQとする。このとき,△BCQ∽△CPDを証明しなさい。
[証明]










(2) 図2のように,BQ=CP,BQ⊥CPであるとき,長方形ABCDをア,イ,ウの3つの図形に分けて,それらを並べかえると,図3のようなBQ,CPと同じ長さの線分を1辺とする正方形ができる。図3の正方形に線を書き入れ,ア,イ,ウのそれぞれがどこにおさまるか示しなさい。

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