3 図形
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20 半 円 (解答)
山口県立高校 (H26年) ★ 慶應義塾女子高校 (H26年) ★★
(1) △AFD≡△BEDである。
[証明]
△AFDと△BEDにおいて,
 AD=BD(仮定)
 ∠ADF=∠BDE=90°
   (直径の円周角)
 ∠CAD=∠CBD(弧CDの円周角)
1辺両端角相等より,△AFD≡△BED



(2) 線分BCの長さ
【解】(1)より,AF=BE=9,DF=DE=3
△ADFで,AD=√92−32=√72=6√2=BD
2角相等より△ADF∽△BCFで,AD:BC=AF:BF
 6√2:BC=9:(6√2−3)
 9BC=72−18√2で,BC=8−2√2 cm
(1) ∠EAD,∠AEB,EC:EB
【解】
∠EAD(弧CDの円周角)
=∠COD÷2=60÷2=30°
△ADEで,∠ADE=90°より,
 ∠AEB=90−30=60°
AE=2ED=2x,
また△DCE∽△ABE(2角相等)より,
 EC:EB=DE:AE=x:2x1:2
(2) xの値
【解】(1)より,(2x−2):(x+5)=1:2
 4x−4=x+5で,x=3
(3) yの値を求めなさい。
【解】 AD=√3ED=3√3
△ABDで,y=AB=√(3√3)2+52=√522√13 
大阪星光学院高校 (H26年) ★★ 大分県立高校 (H26年) ★★★
(1) 半円Oの半径の長さ
【解】 半径をrとすると,
△OCD(∠D=90°)で,
 (r+6)2r2+122
 12r+36=144で,r9

(2) △CADと△CDBが相似
[証明]
△CADと△CDBにおいて,
 ∠DCA=∠BCD(共通)
 CA:CD=24:12=2:1
 CD:CB=12:6=2:1
2辺の比と夾角相等より,△CAD∽△CDB


(3) ADの長さ,△BCFの面積
【解】
(2)より,AD:DB=CD:CB=2:1
△ABDの3辺は,1:2:ABで,AB=√212+22=√5
 AD:AB=2:√5より,AD= 18×2 36 5 
5  5
△BCDで,CFは∠Cの二等分線だから,
 BF:DF=CB:CDで,BF:DF=6:12=1:2
△BCF=△BCD×  1 . =(△ABD×  6 .  1
1+2 9+9  3
 =(  1 ×AD×  1 AD)×  1 ×  1  1 ×AD2 
 2  2  3  3 36
 =   1 × 362 ×5=  36
36  52 5
(1) ア △ADEと相似
【解】 △CBE
イ △ADEとアが相似
[証明]
△ADEと△CBEにおいて,
 ∠AED=∠CEB(共通)
 ∠DAE=∠BCE(弧BDの円周角)
2組の角が等しいから,△ADE∽△CBE

(2) 線分BDの長さ
【解】 BD=xとすると,AD=3x
△ABC(∠C=90°)で,
 AB=√132+92=√250=5√10
△ABD(∠D=90°)で,
 x
2+(3x)2=(5√10)2=250
 10x2=250で,BD=x5cm
(3) 線分BEの長さ
【解】 BE=yとする。
(1)より,AE:CE=AD:CB=15:9=5:3
 (5√10y):CE=5:3…ウ
△BDEと△CAEで,
 ∠BDE=∠CAE=180−∠BDC
 ∠BED=∠CEA(共通)
2角相等より,△BDE∽△CAE
 BE:CE=BD:CAより,y:CE=5:13…エ
ウとエより,CE=  3 (5√10y)= 13 y 
 5  5
15√10+3y=13yで,BE=y  3√10 cm 
 2

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