3 図形
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21 立方体 (解答)
ラ・サール高校 (H25年) ★★ 巣鴨高校 (H25年) ★★
(1) △AFMの面積

【解】CDの中点をNとする。
四角形AFMNは等脚台形で,
 MN=√2,AF=2√2,MF=√5
MからAFに垂線MKをおろすと,
 △MPF(∠P=90°)で,
 MK=√ {(√5)2−( 2 )2}=  3 2
 2  2
よって,△AFM=  1 ×2√2×  3 23
 2  2


(2) 線分BPの長さ

【解】
四面体ABFM=  1 ×△AFM×BP=  1 ×△BFM×AB 
 3  3
 (1)より,3BP=(  1 ×2×2)×2=4 
 2
よって,BP=   4
 3
(1) 六角形 IJKLMNの面積S
【解】
(1辺√2の正方形)×6
 =  3 ×(√2)2×6=3√3 
 4

(2) 回転体の体積V
【解】(母線√5の円すい)×2
右図より,高さは√(√5)2−(√2)2=√3
 1 ×(√2)2π×√3×2=   4 3π
 3  3

(3) はさまれた部分の側面積S'
【解】
三角すいB-PQRの高さhを求める。
3 (√2)2h  1 ×13より,h 3
4  2  3

S'={(√5)2π−( 5 )2π}× 2√2π
 3 2√5π
 =   8 10π 
 9
慶應義塾女子高校 (H26年) ★★★ 立教新座高校 (H26年) ★★★
(1) PD:SHを求めよ。

【解】
△CQR≡DQI で,CR=DI =2
△IPD∽△ISHで,
 PD:SH=ID:IH=1:3

(2) 辺DHを含む方の立体の体積
【解】
(三角すいI-DPQ)≡(三角すいR-GTJ)だから,
体積=(三角すいI-HSJ)−(三角すいI-DPQ)×2
 =  1 ×9×6−(  1 ×1×2)×2=  50
 3  3  3 

(3) 切り口の平面に下ろした垂線の長さ。
【解】
△ISJ(SI=SJ)で,IJ の中点をMとする。
 IJ=√2IH=6√2,MH=MI=3√2
△SMHで,SM=√(3√2)2+32=3√3より,
 △ISJ=(1/2)×6√2×3√3=9√6
三角すいI-HSJ=  1 ×9√6×垂線=18で,垂線=6 
 3
(1) 切り口の図形の面積
【解】
切り口は△BDE
 (1辺8√2cmの正三角形)
△BDE=  3 ×(8√2)2
4
 =32√3cm2
(2) 何秒後か。正六角形の面積
【解】
青図のように,各中点を通るとき
AP'=(3/4)AC=6√2で,
 6√2÷√26秒後
面積=(1辺4√2の正三角形)×6
 = 3 ×(4√2)2×6=48√3 cm2
4
(3) 切り口の図形の面積
【解】 切り口は右上の赤の六角形
IJ=(1/4)DB=2√2,JK=(3/4)CF=6√2
面積=(1辺10√2の正三角形)
     −(1辺2√2の正三角形)×3
 =  3 ×(10√2)2 3 ×(2√2)2×3=44√3cm2
4 4

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