図形	２１　立方体　（略解）

１	東京電機大高校　（Ｒ５年）　★★	３	法政大第二高校　（Ｒ５年）　★★★
１辺の長さが12cmの立方体ABCD-EFGHがあります。 (1) △BEGの面積を求めなさい。 【解】1辺12√2の正三角形 △BEG＝(12√2)2＝72√3cm2 (2) 線分BD上に,BP:PD＝3:1となる点Pをとり,直線PFと△BEGとの交点をQとします。このとき,線分PQの長さを求めなさい。 【解】BP//FOより,△PQB∽△FQO(比3:2) PF＝√(9√2)2＋122＝√306＝3√34 　PQ＝3√34×＝√34cm		１辺の長さが8cmの立方体ABCD-EFGHがある。辺AD,CDの中点をそれぞれM,Nとする。 (1) 四角形MEGNの面積 【解】MK＝√(4√5)2−(2√2)2＝6√2 MEGN＝(4√2＋8√2)×6√2＝72cm2 (2) 点H四角形MEGNまでの距離 【解】PQ＝MK＝6√2 △PQRで,QR＝√(√6)2＋82＝2√2 △HQS∽△PQR(比2:3)より, 　HS＝PR＝×8＝cm
２	日大習志野高校　（Ｒ４年）　★★★	４	慶應義塾高校　（Ｒ４年）　★★★
1辺の長さが5cmの立方体ABCD-EFGHがある。 (1) 4点B,E,F,Gを頂点とする四面体BEFGの体積と表面積を求めなさい。 【解】 体積(B-EFG)＝△EFG×5＝ 125 cm3 6 △FBEF＝△FBG＝△FEG＝×52＝ △BEG＝×5√2×√6＝√3 表面積＝×3＋√3＝ 25(3＋√3) cm2 2 (2) 線分FD上の点Oを中心とする球がある。この球は面ABCDに接し,かつ,3点B,E,Gを通る平面にも接する。3点B,E,Gを通る平面と球の接する点をPとするとき,OP/ODの値を求めなさい。 【解】切断面BFHDを考える DF＝√52＋52＋52＝5√3cm △DBF∽△DQO（3辺比1:√2:√3)より,OD＝√3r　　 　OP ＝ 　r　 ＝ √3 　OD √3r 3		辺の長さが5の立方体ABCD-EFGHがある。辺BF上にBP:PF＝1:2となる点Pを,辺EH上にEQ:QH＝3:1となる点Qをとる。また,3点A,P,Qを通る平面と辺FGの交点をRとする。 (1) 線分FRの長さを求めよ。 【解】 △PRF∽△AQE(相似比2:3)より, 　FR＝×＝ (2) 四角形APRQの面積は,三角形APQの面積の何倍か求めよ。 【解】AQ‖PR,AQ:QR3:2より, △APQ:△PQR＝3:2で, 　APRQ ＝ 3＋2 ＝倍 　△APQ 3 (3) 平面APQで分けられた2つの立体のうち,頂点Eを含む方の立体の体積を求めよ。 【解】AP,QR,EFの延長交点をSとすると, (三角すいS-AQE)∽(三角錐S-PRF) SF＝xとすると,AE:PF＝3:2より, 　SE:SF＝(x＋5):x＝3:2で,x＝10 三角すいS-AQE＝△AQE×SE＝375/8 よって, {1−()3}×(375/8)＝2375/72

［TOP］　［問題にもどる］　　★　中　　★★　やや難　　★★★　難