 図形 |
２２ 直方体 （略解） | |
| 図形 |
２２ 直方体 （略解） | |
| １ | 岩手県立高校 （Ｒ５年） ★★★ | ３ | 早大本庄高校 （Ｒ４年） ★★ |
 右の図は,AB＝6cm,AD＝5cm,AE＝7cmの直方体ABCD-EFGHです。(1) 線分AFの長さを求めなさい。 【解】 △AEFで, AF＝√72＋62＝√85cm (2) 四面体AHFPの体積を求めなさい。 【解】直方体−(2つの三角錐)−(2つの四角錐) (赤)三角錐A-EFH＝35 (青)三角錐H-FGP＝10 (緑)四角錐A-DHPC＝60 (柿)四角錐A-BFPC＝60 四面体AHFP＝210−(35＋10＋60＋60)＝45cm3 |
 図は,AB=3,AD=6,AE=6の直方体ABCD-EFGHである。辺 BF,辺DH上にそれぞれ点 I,Jを4点A,I,G,Jが同じ平面上にあるようにとる。Bl=3のとき四角形AIGJの面積 Sを求めよ。 【解】  AIGJは平行四辺形 △JIGで,JI＝IG＝3√5,GJ＝3√2h＝√ {(3√5)2−(  √2)2}＝ √2平四AIGJ＝2△JIG ＝2×(  ×3√2×√2)＝27 |
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| ２ | 洛南高校 （Ｒ４年） ★★★ | ４ | 中央大杉並高校 （Ｒ４年） ★★★ |
 AB＝4,AD＝AE＝2√3である直方体ABCD-EFGHがあります。また,辺DC上に点Qがあり,AQ=4です。(1) DQの長さを求めなさい。 【解】 △ADQで,DQ＝√ {42−(2√3)2}＝2 (2) 点Pは,AP＝4を満たしながらBからQまで移動します。Pが描く曲線の長さを求めなさい。 【解】△ABQは正三角形 弧BQ＝8π×  ＝ π(3) 点Pは,AP=4を満たしながら一周します。 (ｱ) Pが描く曲線の長さ 【解】点B,Q,R,S,Tをを通る 弧QR＝弧ST＝4π×  ＝π…ア△ADR≡△AESより,∠RAS＝30° 弧RS＝8π×  ＝ π…イ弧TB＝弧BQ＝  π…ウアイウより, π＋π＋π＋π＋π＝ π(ｲ) 線分APが通過してできる面の面積の和 【解】  ABQ＝ATB＝42π×＝ π…エAQR＝AST＝×22×π×4×＝2π…オARS＝42π×＝π…カエオカより, π＋2π＋π＋2π＋π＝(32/3)π |
 AB＝6,AD＝AE＝3の直方体ABCD-EFGHがあります。対角線AG上にAP:PG＝1:2となるように点Pをとり,Pから面EFGHに垂線をひき,その交点をQとします。(1) PQの長さを求めなさい。 【解】PQ‖AE, AP:PG＝1:2より, PQ＝ AE＝3×＝2(2) EPの長さを求めなさい。 【解】 EG＝3√5より,EQ＝3√5×  ＝√5△PEQで, EP＝√ {22＋(√5)2}＝3 (3) 三角すいP-AEHの体積を求めなさい。 【解】三角すいP-AEHの高さは,6× ＝2体積＝ △AEH×2＝××2＝3(4) 点Aから3点E,H,Pを通る平面におろした垂線の長さを求めなさい。 【解】△EHPの3辺は,3,3,2√3で, △EPH＝ ×2√3×√6＝3√2(3)より, ×3√2×(垂線)＝3で, 垂線＝ √2 |
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