3 図形
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22 直方体 (解答)
洛南高校 (H26年) ★★★ 江戸川学園取手高校 (H24年) ★★
(1) Tの体積
【解】(直方体)−(4つの三角すい)
6×6×8−  1 ×(  1 ×62)×8×4=96 
 3  2
(2) 切り口の面積
【解】切り口は,右のようなひし形
よって,6×8÷2=24
(3) 【解】
ア 切り口の面積
 切り口は,右のような長方形
よって,2√2×4√216
イ Bを含む方の立体の体積
右図参照
(あ)赤の三角すい台
=三角すいE-ABD×{(33−13)/33
 =48×  26 =   416  …ウ
 27  9 
(い)青の三角すい
 =(三角すいB-EFG)×(23/33)
 =48×  8 . =   128  …エ
 27  9 

体積=6×6× 16 416 ×2− 128 ×2= 640
 3 9 9 9
(1) FP:FQ,和の最小値

【解】 右図の展開図で考える。

FP=3/2より,
 FP:FQ=(3/2):1=3:2
AP+PQ=AQ=√32+22 13


(2) 和 I =AP+PQ+QCの最小値

【解】 APQCが一直線のとき
△ACHで,AC=√32+425

(3)ACとPQがねじれの位置にある。

[証明] 右上図参照

(平面ABCD)//(平面EFGH)より,
 ACとPQは交わらない…ア
AC//EG,EG(赤)とPQ(青)は平行でない
 ACとPQは平行でない…イ

よってア,イより,ねじれの位置にある。
青山学院高校 (H26年) ★★  日本大習志野高校 (H25年) ★★★
(1) MNとねじれの位置の辺

【解】
平行でない,交わらない
 辺AE,EF,EHの3本

(2) 辺AEの長さ

【解】 三角すいR-EFHで
RA=AE=xとすると,
 S=(R-EFH)×(7/8)=56より,
 S=  1 ×(  1 ×6×8)×2x×  7 =14x=56 
 3  2  8
よって,x=AE=4

(3) PQ+QNの最小値
【解】 Nの対称点N’をとる。
EHの中点をSとすると,△PNS(各S=90°)で,
 PN=√32+42=5,
△NN'P(∠N=90°)で,PN'=√82+52=√89
よって,最小値=PQ+QN=PN’=89 
(1) 大きい方の立体の体積
【解】(直方体)−(三角すい)
3×3×4−  1 ×(  1 ×3×3)×4=30 
 3  2
(2) 切り口の面積。
【解】 切り口は等脚台形PEGQ
KG=2√5,
高さh=√(2√5)2−(√2)2=3√2
  1 (√2+3√2)×3√212 
  2
(3) 頂点Hを含む立体の体積
【解】
右図のように,IJ//QRを引くと,
切り口は五角形DLQRMとなって,
三角すい(H-LEQ)=2
三角すい(H-DLQ)=(Q-HDL)=4
三角すい(H-DQR)=(D-HQR)=4
三角すい(H-DRM)=(R-DHM)=3
三角すい(H-MGR)=3/4より,
 よって,体積=2+4+4+3+  3 =  55
 4  4

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