 図形 |
２２ 直方体 （略解） | |
| 図形 |
２２ 直方体 （略解） | |
| １ | 岩手県立高校 （Ｒ５年） ★★★ | ４ | 早大本庄高校 （Ｒ４年） ★★ |
 AB＝6cm,AD＝5cm,AE＝7cmの直方体(1) 線分AFの長さを求めなさい。 【解】 △AEFで, AF＝√72＋62＝√85cm (2) 四面体AHFPの体積を求めなさい。 【解】直方体−(2つの三角錐)−(2つの四角錐) (赤)三角錐A-EFH＝35 (青)三角錐H-FGP＝10 (緑)四角錐A-DHPC＝60 (柿)四角錐A-BFPC＝60 四面体AHFP＝210−(35＋10＋60＋60)＝45cm3 |
 図は,AB=3,AD=6,AE=6の直方体ABCD-EFGHである。辺 BF,辺DH上にそれぞれ点 I,Jを4点A,I,G,Jが同じ平面上にあるようにとる。Bl=3のとき四角形AIGJの面積 Sを求めよ。 【解】  AIGJは平行四辺形 △JIGで,JI＝IG＝3√5,GJ＝3√2h＝√ { (3√5)2−(  √2)2}＝ √2平四AIGJ＝2△JIG ＝2×(  ×3√2×√2)＝27 |
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| ２ | 洛南高校 （Ｒ４年） ★★★ | ５ | 中央大杉並高校 （Ｒ４年） ★★★ |
 AB＝4,AD＝AE＝2√3である直方体ABCD-EFGHがあります。【解】△ADQで,DQ＝√ {42−(2√3)2}＝2 (2) Pが描く曲線の長さを求めなさい。 【解】△ABQは正三角形 弧BQ＝8π×  ＝ π(3) 点Pは,AP=4を満たしながら一周します。 (ｱ) Pが描く曲線の長さ 【解】点B,Q,R,S,Tをを通る 弧QR＝弧ST＝4π×  ＝π…ア△ADR≡△AESより,∠RAS＝30° 弧RS＝8π×  ＝ π…イ弧TB＝弧BQ＝  π…ウアイウより, π＋π＋π＋π＋π＝ π(ｲ) 線分APが通過してできる面の面積の和 【解】  ABQ＝ATB＝42π×＝ π…エAQR＝AST＝×22×π×4×＝2π…オARS＝42π×＝π…カエオカより, π＋2π＋π＋2π＋π＝(32/3)π |
 AB＝6,AD＝AE＝3の直方体ABCD-EFGHがあります。対角線AG上にAP:PG＝1:2となるように点Pをとり,Pから面EFGHに垂線をひき,その交点をQとします。(1) PQの長さを求めなさい。 【解】PQ‖AE, AP:PG＝1:2より, PQ＝ AE＝3×＝2(2) EPの長さを求めなさい。 【解】 EG＝3√5より,EQ＝3√5×  ＝√5△PEQで, EP＝√ { 22＋(√5)2}＝3 (3) 三角すいP-AEHの体積を求めなさい。 【解】三角すいP-AEHの高さは,6× ＝2体積＝ △AEH×2＝××2＝3(4) 点Aから3点E,H,Pを通る平面におろした垂線の長さを求めなさい。 【解】△EHPの3辺は,3,3,2√3で, △EPH＝ ×2√3×√6＝3√2(3)より, ×3√2×(垂線)＝3で, 垂線＝ √2 |
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| ３ | 福岡県立高校 （Ｒ６年） ★★ | ６ | 西大和学園高校 （Ｒ６年） ★★★ |
 図は,AB＝8cm,BC＝4cm,AE＝4cmの直方体ABCDEFGHを表している。(1) 辺EF上に点P,辺FG上に点Qを,AP＋PQ＋QCの長さが最も短くなるようにとる。 このとき,線分PQの長さを求めよ。 【解】展開図で,AC＝√82＋122＝4√13  PQ＝PC＝×(AC)＝4√13×＝ √13cm(2) 辺ABの中点を I, 辺HGの中点をJとし,四角形EICJをつくったものである。 辺ＥＦ上に点Kを,EK＝KCとなるようにとるとき,四角すいKEICJの体積を求めよ。 【解】EK＝KC＝xとすると,FK＝8−x △CFKで,x2＝(8−x)2＋(4√2)2より,x＝6 四角錐KEICJ＝(三角錐I-EJK)×2＝ △EJK×AE×2＝ (×6×4)×4×2＝32cm2 |
 図のように,底面が一辺の長さ3√2の正方形で,高さが5の直方体がある。点P,Qはそれぞれ辺 BF,辺DH上の点で,FP＝1,DQ＝1である。このときPQの長さは[ア ] である。三角形PACの面積は[イ ]
であり,三角錐PACQの体積は[ウ ] である。【解】 (ア) 直方体の対角線と考えて, PQ＝√ { (3√2)2＋(3√2)2＋32}＝3√5 (イ) BDの中点Oをとると,△PODで,PO＝5  △PAC＝×6×5＝15(ウ) 垂線QHを下ろすとし,OH＝xとすると, QH2＝(√10)2−x2＝(3√5)2−(5−x)2 これを解くと,x＝−1 (鈍角三角形となる) QH＝3で,体積＝ ×15×3＝15 |
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