図形 24 三角柱・三角すい (略解)
岩手県立高校 (R4年) ★★★ 城北高校 (R4年) ★★
 図は,底面が直角三角形で,側面がすべて長方形の三角柱です。

(1) 線分BMの長さを求めなさい。
【解】△BEMで,
 BM=√92+32=√903√10cm
(2) 頂点D,Eをふくむ方の立体の体積
【解】(右上図参照)
△ABCで,AB=√62−(2√5)2=4
(三角錐G-ABC)∽(三角錐G-NMF)で,
 相似比2:1だから,体積比は8:1
三角柱台ABC-NMF=三角錐G-ABC×
 =×(×4×2√5)×18×=21√5…ア
三角柱ABC-DEF×4×2√5×9=36√5…イ
イ−アより, 体積=15√5cm3
 すべての辺の長さが6の三角柱ABC-DEFがある。

(1) △DBQの面積を求めよ。
【解】
DB=√62+62=6√2
QB=QD=√62+32=3√5
△QBDは二等辺三角形(高さは3√3)
 △DBQ=×6√2×3√39√6

(2) EPの長さを求めよ。
【解】EP=xとすると,
四角錐D-EFQP(x+3)×6÷2=3√3(x+3)…ア
三角柱ABC-DEF×62×6=54√3…イ
アイより,3√3(x+3)=54√3×で, x=EP=
東京学芸大附属高校 (R4年) ★★ 日本大第二高校 (R5年) ★★
 △OABが底面の三角錐の高さを求めなさい。

【解】
△ABC=×62=9√3より,
 三角錐O-ABC×9√3×4√6=36√2
△OAB=×6×√(6√3)2−32=9√11
高さをhとすると,三角錐C-OAB=三角錐O-ABCより,
 ×9√11h=36√2で, h 12√2 12√22
11 11
 右の図のように,AD=10cmの正三角柱ABC-DEFにおいて,BE上に点P,CF上に点Qを,それぞれEP=2cm,FQ=6cmとなるようにとると,∠AQP=120°になった。

(1) ∠PAQの大きさを求めよ。
【解】
QP=QAより,PAQ=(180−120)÷2=30°

(2) 辺ABの長さを求めよ。
【解】AB=xとおくと,
△ABPで,AP=√x2+64
△PQRで,QP=√x2+16
(1)より,AP:QP=2:2√3=1:√3だから,
 √x2+64:√x2+16=1:√3で, AB=x2√2cm

(3) この立体を平面APQで切断するとき,点Bを含む方の立体の体積を求めよ。
【解】
四角錐A-BPQC=BPQC×高さ
 =×(×12×2√2)×√68√3cm3
 
愛光高校 (R4年) ★★★
 △ABCに平行な面DEFで切った立体の体積を求めよ。

【解】四角錐O-AGBCで考える
△DEF∽△ABC(相似比2:3)で,
 OA=OB=18,BC=6, ∠C=90°
垂線OHを△ABCおろすと,AH=BH
△OABで,OH=√182−62=12√2
三角錐台DEF-ABC=三角錐O-ABC×(19/27)
 =×(×6×6√3)×12√2×(19/27)
 =(152√6)/3

TOP] [問題にもどる]  ★ 中  ★★ やや難  ★★★ 難