3 図形
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24 三角柱・三角すい (解答)
東大寺学園高校 (H25年) ★★ 明治大中野高校 (H25年) ★
(1) DKの長さ
【解】 垂線HLをおろす。
HL=  2 AB=2,GL=  2 AC−  1
 3  3  2
ED:KD=HL:GL=2:1より,
 3:KD=2:1で,KD=3/2

(2) 四角すいG-KEJ I の体積
【解】
△KEF∽△IJF(面積比は9:4)
四角形KEJI=△KEF×(5/9)=(27/4)×(5/9)=15/4
よって,体積=(1/3)×(15/4)×6= 15/2

(3) 三角すいG-HEJ の体積
【解】 垂線GMをおろすと,,
△ABC∽△MGCで,GM=3/√5
EF=3√5で,EJ=√5より,△HEJ=3√5
よって,体積=(1/3)×3√5×(3/√5)=3
(1) △APQと△ABCの面積の比

【解】

△APQ  2 ×  3  1 より,
△ABC  6  8  8
 △APQ:△ABC=1:8

(2) ARの長さ

【解】

(三角錐A-PQR):(三角錐A-BCD)
 =1:(1+13)=1:14
AR=xとすると,
 三角錐A-PQR  2 ×  3 ×  x  x  1
 三角錐A-BCD  6  8  7 56 14
 14x=56で,x4cm 
石川県立高校 (H26年) ★★  清風高校 (H26年) ★★
(1) 辺CFと平行な辺

【解】 辺AD,辺BE



(2) 周の長さ

【解】

EPGが一直線になるときだから,
△GFEで,
 EPG=√82+62=√100=10
△GEFで,
 EG=√42+62=√52=2√13
よって,周=EPG+EG=10+2√13 cm



(3) 点Dを含むほうの立体の体積

【解】 展開図で考える。

DQ=xとすると,QH=6−x
QE=QGより,x2+32=(6−x)2+52
 x2+9=36−12xx2+25で,
 12x=52より,x=13/3
体積=(三角すいQ-DEF)
     +(三角すいQ-EFG)
 =  1 ×6× 13  1 ×12×3
 3  3  3
 = 26 +12=  62 cm3
 3 3
(1) 三角錐O-ABCの体積
【解】
体積=  1 ×(  1 ×62)×6√2
 3  2
 =36√2cm3

(2) OBの長さ
【解】 BM=3√2
△OBMで,
 OB=(6√2)2+(3√2)2=√903√10cm

(3) PBの長さ
【解】△PAC,△PAMは直角二等辺三角形
垂線MHをおろすと,
 △OMB∽△MHB(√5:1)
PM=AM=CM=3√2
BH=3√2× 1  3 10 
5  5
よって,PB=BH×2=  3 10×2=  6 10 cm
 5  5

(4) 三角錐O-ABQがもとの三角錐の体積の1/4

ア △ORQの面積
【解】 Aを頂点と考えると,
△OQR=  1 △OBC=  1 ×(  1 ×6×9)
 4  4  2
 = 54  = 27 cm2 
 8 4
イ OR:RB
【解】
△OQR   OR . ×  2  1 で,OR= 9  √10
△OBC 3√10  3  4 8
OR:OB=(9/8)√10:3√10=3:8より,OR:RB=3:5

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