 図形 |
２４ 三角柱・三角すい （略解） | |
| 図形 |
２４ 三角柱・三角すい （略解） | |
| １ | 岩手県立高校 （Ｒ４年） ★★★ | ５ | 城北高校 （Ｒ４年） ★★ | ||||||
 図は,底面が直角三角形で,側面がすべて長方形の三角柱です。(1) 線分BMの長さを求めなさい。 【解】△BEMで, BM＝√92＋32＝√90＝3√10cm (2) 頂点D,Eをふくむ方の立体の体積 【解】(右上図参照) △ABCで,AB＝√62−(2√5)2＝4 (三角錐G-ABC)∽(三角錐G-NMF)で, 相似比2:1だから,体積比は8:1 三角柱台ABC-NMF＝三角錐G-ABC×  ＝  ×( ×4×2√5)×18×＝21√5…ア三角柱ABC-DEF＝ ×4×2√5×9＝36√5…イイ−アより, 体積＝15√5cm3 |
 すべての辺の長さが6の三角柱ABC-DEFがある。(1) △DBQの面積を求めよ。 【解】 DB＝√62＋62＝6√2 QB＝QD＝√62＋32＝3√5 △QBDは二等辺三角形(高さは3√3) △DBQ＝ ×6√2×3√3＝9√6(2) EPの長さを求めよ。 【解】EP＝xとすると, 四角錐D-EFQP＝ (x＋3)×6÷2＝3√3(x＋3)…ア三角柱ABC-DEF＝  ×62×6＝54√3…イアイより,3√3(x＋3)＝54√3×  で, x＝EP＝ |
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| ２ | 東京学芸大附属高校 （Ｒ４年） ★★ | ６ | 日本大第二高校 （Ｒ５年） ★★ | ||||||
 △OABが底面の三角錐の高さを求めなさい。【解】 △ABC＝ ×62＝9√3より,三角錐O-ABC＝ ×9√3×4√6＝36√2△OAB＝ ×6×√(6√3)2−32＝9√11高さをhとすると,三角錐C-OAB＝三角錐O-ABCより,
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 右の図のように,AD＝10cmの正三角柱ABC-DEFにおいて,BE上に点P,CF上に点Qを,それぞれEP＝2cm,FQ＝6cmとなるようにとると,∠AQP＝120°になった。(1) ∠PAQの大きさを求めよ。 【解】 QP＝QAより,PAQ＝(180−120)÷2＝30° (2) 辺ABの長さを求めよ。 【解】AB＝xとおくと, △ABPで,AP＝√x2＋64 △PQRで,QP＝√x2＋16 (1)より,AP:QP＝2:2√3＝1:√3だから, √x2＋64：√x2＋16＝1:√3で, AB＝x＝2√2cm (3) この立体を平面APQで切断するとき,点Bを含む方の立体の体積を求めよ。 【解】 四角錐A-BPQC＝  BPQC×高さ＝ ×(×12×2√2)×√6＝8√3ｃｍ3 |
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| ３ | 愛光高校 （Ｒ４年） ★★★ | ||||||||
 △ABCに平行な面DEFで切った立体の体積を求めよ。【解】四角錐O-AGBCで考える △DEF∽△ABC(相似比2:3)で, OA＝OB＝18,BC＝6, ∠C=90° 垂線OHを△ABCおろすと,AH＝BH △OABで,OH＝√182−62＝12√2 三角錐台DEF-ABC＝三角錐O-ABC×(19/27) ＝ ×(×6×6√3)×12√2×(19/27)＝(152√6)/3 |
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| ４ | 秋田県立高校 （Ｒ６年） ★★★ | ７ | 都立八王子東高校 （Ｒ６年） ★★★ | ||||||
 右の図のように,三角錐OABCがある。点Aから辺OBを通り,点Cまで最も短くなるようにひいた線と辺OBの交点を Pとする。このとき,三角錐PABCの体積を求めなさい。【解】ACの中点をMとすると,OM⊥△ABCで, 高さOM＝√92−(3√2)2＝3√7  △ONB∽△APB(相似比3:2)より,PB＝2三角錐P-ABC＝  (三角錐O-ABC)＝ ×(×62)×3√7×＝4√7cm3 |
 立体Ａ-BCDは,AB＝AC＝BD＝CD,BC＝AD＝6cmの四面体である。BP＋PD＝lcmとする。点Ｐを辺AC上において動かすとき,最も小さくなるlの値を求めよ。 【解】 4面はすべて合同な二等辺三角形で底辺は6) △BCDで,DM＝4より,等辺BD＝AC＝5  △ABCに垂線BHを下ろし,AH＝xとすると,BH2＝52−x2＝62−(5−x)2より,x＝  BH＝  , PH＝ −＝ で,BP＝√97l＝2BP＝√97 |
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