3 図形
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25 円柱・円すい (解答)
熊本県立高校 (H26年) ★ 大阪教育大附属高校池田校舎(H26年) ★★
(1) 円柱の体積

【解】
体積=42π×6= 96π cm3

(2) 線分ABの長さ

【解】
△OAMで,AM=√42−22=√12=2√3
よって,AB=2AN=2×2√34√3 cm

(3) △OCDの面積

【解】
OH=hとすると,
h2+(2√3)2=42+62より,
 h2=16+36−12=40で,
 h=√40=2√10となるから,
△OCD=(1/2)×4√3×2√104√30 cm2
(1) 円錐の底面の半径
【解】底面の円周=扇形の弧だから,
底面の半径をrとすると,
 扇形の半径は4r
△AEOで,EO=√(5r)2−(3r)2=4rより,
 EO+OG=4rr=5r=10で,r2 cm

(2) 円錐の体積
【解】母線の長さは,4r=8cmだから,
円錐の高さ=√82−22=√60=2√15
よって,体積=   1 ×22π×2√5=   8 5 cm3 
 3  3

(3) 球の半径
【解】球の半径をxとする。
△AHO'∽△AOI より,AO':AI=O'H:IO
(2√15x):8=x:2で,2√15x=4x
よって,半径x=   2 15 cm 
 5
徳島県立高校 (H29年) ★  中央大附属高校 (H29年) ★★
 さとしさんは,図1のような底面の半径が20cm,高さがで30cmの円柱の形をした水槽に,水27Lを入れ,めだかを飼っていた。しばらくたって,水替えをするときに,この水槽を図2のように水面がちょうど2点P,Sを通るところまで傾けて,水を捨てた。捨てた水の体積は何Lか,求めなさい。
 ただし,線分PQ,線分RSは底面の円の直径で,PQ//RSである。また,円周率はπとする。


【解】

残っている水の体積=円柱の体積×(1/2)
 π×202×30×(1/2)
  =6000πcm3=6πL

捨てた水の体積= (27−6π)L
 
 半径2の球が円錐に内接し,半径1の球が半径2の球と円錐の両方に接している。
(1) 半径2の球の体積
【解】
体積= 4 π×23 32 π
3 3

(2) 円錐の高さ
【解】(右上図参照)
T A=xとすると,△TAP∽△TBQより,
 x:(x+3)=1:2で,x=3
円錐の高さ=3+1+4= 8

(3) 円錐の体積
【解】
△TAPで,TP=√32−12=2√2
△TAP∽△TROより,
 OR=PA× TO =1×  8 . =2√2
TP 2√2
円錐の体積=(1/3)×π(2√22×8=64/3π

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