3 図形
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26 切り口 (解答)
西大和学園高校 (H25年) ★ 法政大高校 (H25年) ★★
 線分PQの長さ

【解】

QG=xとすると,
 △QFGで,FQ2x2+402…ア

QからDHに垂線QRをおろすと,
 △DQRで,QR2=302+(35−x)2…イ
ひし形だから,FQ=QDで,

 ア=イより,x2+402=302+(35−x)2
    x2+1600=900+1225−70xx2
 70x=525で,x=15/2

QからAEに垂線QSをおろすと,
 QS=GE=√302+402=√2500=50
また,AP=QG=x=15/2だから,
 PS=35−15=20

よって,△PSQで,
 PQ=√202+502=√290010√29 cm
    
(1) 線分REの長さ
【解】 右上図参照
△EIP≡△FQPより,EI=FQ=3cm
DIH∽△RIE で,
 I E =9×  3 3cm
 I H  9
(2) 五角形DRPQSの面積
【解】
△DIJ は,1辺9√2cmの正三角形だから,
 △DIJ= 3 (9√2)2  81 3…ア
 4   2
△RIPと△SQJは,1辺3√2cmの正三角形だから,
 △RIP=△SQJ= 3 (3√2)2  9 3 …イ
 4   2
五角形=ア−イ×2=( 81 −9)√3=   63 3 cm2
 2  2 
(3) 頂点Hを含むほうの立体の体積
【解】
(三角錐D-HIJ)-(三角錐R-EIP)-(三角錐S-GQJ)
 =  1 ×  1 ×92×9−  1 ×  1 ×32×3×2 
 3  2  3  2
 = 243  9 ×2=  225  cm3 
2  2 2
慶應義塾女子高校 (H26年) ★★★  立教新座高校 (H25年) ★★★
(1) PD:SH
【解】 右上図参照
△IQD≡△RQCより,
 ID=RC=2
△IPD∽△ISHより,,
 PD:SH=ID:IH=1:3

(2) 辺DHを含む方の立体の体積

【解】
(1)より,SH=3PD=3×1=3,またJH=6
SJとFGの交点をTとすると,
 (三角すいI-PQD)≡(三角すいR-TJG)
体積=(三角すいI-SJH)−(三角すいI-PQD×2
 =  1 ×(  1 ×3×6)×6−  1 ×(  1 ×1×2)×2×2
 3  2  3  2
 =18−  4 =   50
 3  3

(3) 頂点Hから下ろした垂線の長さ

【解】 垂線の長さ(三角すいの高さ)をhとする。
△SJ I (SI=SJ)で,IJ=√2IH=6√2
 IJ の中点をMとすると,IM=MH=3√2
△SMHで,SM=√(3√2)2+32=3√3で,
 △ SJ I=(1/2)×6√2×3√3=9√6
三角すいH-SJ I=  1 ×9√6×h=18で, h6 
 3
(1) 点Fを含む方の立体の表面積
【解】 右図参照(2等分に切断)
切り口はひし形AJGIで,
 IJ=4√2,AG=4√3
表面積=(立方体の表面積)÷2+ひし形
 =42×6÷2+(4√2×4√3)÷2
 =48+8√6 cm2
(2) 点Fを含む立体Pの体積と表面積
【解】右図のような四角すいC-IJFH-E
体積=(  1 ×長方形IJFH×  1 EG)×2
 3  2
 =(  1 ×4√2×2×2√2)×2= 64 cm3
 3  3
表面積=42+(  1 ×4×2)×4+(  1 ×4√2×2√3)×2 
 2  2
 =32+8√6 cm2
(3) 立体の体積と表面積
【解】 右図参照
体積=直方体(底面EFGH,高さ1cm)
    −(三角錐L-NMG)×2
 =42×1−(  1 ×  1 ×2×1×2)=  44 cm3
 3  2  3
表面積=(正方形EFGH)+(台形PNGF)×4
 +△NGL×2+(台形PNLK)×2
 =42  1 (4+2)×1×4+  1 ×2√2×√3×2 
 2  2
  +(  1 ×4×4−  1 ×2×2)×2=40+2√6 cm2
 2  2

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