図形 26 切断と切り口 (略解)
大阪教育大附属平野校舎高校 (R5年) ★ お茶の水女子大附属高校 (R5年) ★★★
 1辺の長さが4cmの立方体ABCD-EFGHがある。辺AB,FG,AD,AEの中点をそれぞれI,J,P,Qとする。次の3点を通る平面でこの立方体を切断するとき,切り口の形と切り口の周の長さを答えなさい。


(1) P,Q,I
【解】△PQI
正三角形
2√2×3=6√2cm

(2) P,Q,F
【解】PQFC(右上の赤図)
台形
2√2+2√5×2+4√2(6√2+4√5)cm

(3) P,Q,J
【解】(右上の青図)
正六角形
2√2×6=12√2cm  
 図のような1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。4点A,F,G,Hを頂点とする三角すいSと,4点C,F,E,Hを頂点とする三角すいTがあるとき,

(1) 三角すいSの表面積を求めなさい。
【解】△FGH+△AFG+△AHG+△AHF
S=×2++√2

(2) 辺AE上にAP:PE=m:nとなるような点Pをとり,点Pを通り底面EFGHに平行な平面でこの2つの三角すいS,Tを切ったとき,2つの立体SとTの切り口の図形が重なった部分の面積をMとする。
m:n=2:1のときのMの値を求めなさい。
【解】正方形
M=()2

m:n=7:2のときのMの値を求めなさい。
【解】正方形+長方形
M=()22×216/81
明大中野八王子高校 (R4年) ★★ 須磨学園高校 (R4年) ★★
 図のように,AD=3cm,CD=4cmの直方体ABCD-EFGHを平面DPFQで切ると,∠PFE=60°,∠QFG=30°となるとき,

(1) 平行四辺形DPFQの対角線PQの長さを求めなさい。
【解】(右図参照)
△APDで,AP=√3,△PEFで,PE=4√3
 PR=PE-AP=4√3-√3=3√3
PQ=√32+42+(3√3)2=√522√13cm


(2) 平行四辺形DPFQの面積を求めなさい。
【解】QF=2√3
PQ2+QF2=PF2より,△PQFは直角三角形
DPFQ=2△PDF=2√13×2√34√39cm2
 図 1のように,1辺の長さが1の立方体ABCD?EFGHのうち,5点 C,E,F,G,Hを結んで四角すいC-EFGHをつくり,4辺AE,BF,CG,DHのそれぞれの中点を通る平面で切断する。

(1) VとWの比を,最も簡単な整数比で表しなさい。
【解】V:(V+W)=12:22=1:8
V:W=1:(8-1)=1:7

(2) 切断面の面積を求めなさい。
【解】切断面は台形
面積=(+1)×22

(3) 点Cを含む立体の体積を求めなさい。
【解】
体積=×2×2

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