図形	２７　回転体　（略解）

１	成蹊高校　（Ｒ４年）　★	４	埼玉県立高校　（Ｒ６年）　★
斜線部分を,直線ADを軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。 【解】半球＋円柱−円錐 π×33×＋π×32×3−π×32×6 　＝18π＋27π−18π＝27π		右の図のようなAB＝AC＝2cm,∠BAC＝90°の△ABCがあり,頂点Cを通り,辺BCに垂直な直線/をひきます。このとき,△ABCを,直線/を軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。 【解】大円錐−小円錐×2 体積＝×(2√2)2π×2√2−×(√2)2π×1×√2＝4√2πcm3
２	早大本庄高等学院　（Ｒ５年）　★★★	５	早大高等学院　（Ｒ４年）　★★★
原点を0とする座標平面上に点A(√3,0), B(√3,1)がある。0≦t≦√3に対して,P(t,0), Q(t−√3,0), R(t−√3,1)をとる。直線PRと直線OBの交点をCとする。5つの線分で囲まれる部分の図形を,x軸を軸として一回転させてできる立体をMとする。 (1) 点Cの座標をtを用いて表せ。 【解】 Cのx座標＝(√3＋t−√3)÷2＝t/2 ∠AOB＝30°より,Cのy座標＝(t/2)×＝t 　C(t/2,t) (2) 立体Mの体積Vをtを用いて表せ。 【解】円すい台(ABCHの回転体)×2 △COH∽△BOA(比ｔ:2√3)で,体積比はt3:24√3 V＝(×12π×√3)× 24√3−t3 ×2＝ 24√3−t3 π 24√3 36 (3) 立体Mの表面積Sをtを用いて表せ。 【解】OB＝2 S＝・2π・2{1−(t/2√3)2}×2＋12π×2 　＝4π(1− t2 )＋2π＝ 18−t2 π 12 3		(1) AB＝AC,BC＝1,∠ABC=72°の二等辺三角形ABCについて, �@ 線分 CDの長さ 【解】△ABD,△BCDは二等辺三角形 AB＝AC＝xとすると,△ABC∽△BCDより, 　x:1＝1:(x−1)で,x2−x−1＝0 　x＝ 1＋√5 となって, CD＝x−1＝ √5−1 2 2 �A BE2の値 【解】△BCEで, BE2＝BC2−(CD)2＝12−{(√5−1)}2 　＝(5＋√5) (2) 1回転してできる立体の体積 【解】(1)より,△PQR∽△ABE(相似比2:1) QR＝2AE＝2×{1＋(√5−1)}＝(3＋√5) PR2＝(2BE)2＝4BE2＝4×(5＋√5)＝(5＋√5) 体積＝×PR2π×QR 　＝×(5＋√5)π×(3＋√5) 　＝ 5＋2√5 π 3
３	慶應義塾高校　（Ｒ５年）　★★★	６	市立堀川高校　（Ｒ６年）　★★
辺BC直径とする半径１の円０と辺BCを斜辺とする直角二等辺三角形ABCがある。 (1) 通った部分の立体の体積を求めよ。 【解】Gは重心で,AG＝ (△ABOの回転体)−(△ADGの回転体)で, 体積＝(12π)−()2π×＝(5/18)π (2) 通った部分の立体の表面積を求めよ。 【解】(半径ACの半球)−(△ABCの回転体)で, 表面積＝(半球の曲面積)＋(円錐の側面積) 　＝4π(√2)2×＋22π× 2√2π ＝(4＋2√2)π 4π		図のように,1辺の長さが2である正方形ABCDがある。辺ADの中点をE,辺BCの中点をFとする。 (1) 正方形ABCDを,直線CDを回転の軸として1回転させたとき,四角形ABFEが通過してできる立体の体積を求めなさい。 【解】大円柱−小円柱 体積＝(22−12)π×2＝6π (2) 正方形ABCDを,直線ACを回転の軸として1回転させたとき,四角形ABFEが通過してできる立体の体積を求めなさい。 【解】赤円錐：青円錐＝23：13＝8:1 体積＝(大円錐×2)× 　＝×(√2)2π×√2×2×＝√2π×＝√2π

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