 図形 |
２８ 展開図・投影図 （略解） | |
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２８ 展開図・投影図 （略解） | |
| １ | 東北学院高校 （Ｒ５年） ★ | ５ | 山形県立高校 （Ｒ５年） ★ | ||||
 図は,ある立体図形の展開図です。この展開図を組み立ててできる立体の体積を求めなさい。【解】方錐(底面が正方形の四角錐) 底面は1辺2cmの正方形 高さは2cm 体積＝  ×22×2＝ cm3 |
 右の図は,投影図の一部である。この図から考えられる立体の見取図として適切でないものを,次のア～工から1つ選び,記号で答えなさい。【解】イ  左図の赤線が必要 |
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| ２ | 中央大附属高校 （Ｒ４年） ★ | ６ | 山口県立高校 （Ｒ４年） ★ | ||||
 図のような,辺の長さが1である正方形を底面とし,高さが4の正四角柱ABCD−EFGH がある。点Pは頂点Aを出発して正四角柱のすべての側面
を通るように進み頂点Eまで動く。点Pが辺DHの中点を経由して最短経路で移動するとき,点Pの描く線の長さを求めなさい。【解】（右図参照） 長さ＝√32＋22＋√12＋22＝√13＋√5 |
 図1は１辺の長さが1mである立方体である。この立方体を,ある3つの頂点を通る平面で切り取ると,立体Ｘと立体Ｙができる。図2は立体Ｘの投影図である。立体Ｘの体積をＶ,立体Ｙの体積をＶ'としたとき,体積の整数比Ｖ:Ｖ'を求めなさい。 【解】まず,Yの体積V'を求める V'＝ ×( ×12)×1＝ V:V'＝(1－ ):＝ :＝5:1 |
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| ３ | 近大附属和歌山高校 （Ｒ４年） ★★ | ７ | 筑波大附属坂戸高校 （Ｒ４年） ★ | ||||
 図のように,正方形の画用紙から半径が8cm,中心角が90°のおうぎ形ABCと円Oを切り取って,円すいを作ることにした。ただし,円Oは正方形の2辺に接している。画用紙の厚みやのりしろは考えないものとする。(1) 円Oの半径を求めなさい。 【解】弧BC＝円Oの円周 半径rとすると,  ×16π＝2πrで,半径r＝2cm(2) 画用紙の1辺の長さを求めなさい。 【解】 対角線AD＝AO＋OD＝8＋r＋√2r＝10＋2√2
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 図は,ある立体の投影図です。立面図は正三角形,平面図は1辺の長さが2cmの正方形です。 (1) この立体の名称を答えなさい。 【解】正四角すい (2) この立体の表面積を求めなさい。 【解】正三角形×4＋正方形 表面積＝(  ×22)×4＋22＝(4√3＋4)cm2 (3) この立体の体積を求めなさい。 【解】対角線上の立面図より, 高さ＝√22－(√2)2＝√2 体積＝ ×22×√2＝ √2ｃｍ3 |
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| ４ | 筑波大駒場附属高校 （Ｒ６年） ★★★ | (2) 線分ACの長さを求めなさい。 【解】△ACEで,AC2＝CE2＋EF2＋AF2 ＝(  √2)2＋(3√2)2＋(√2)2＝27より, AC＝3√3 (3)三角すいA-BCDの体積を求めなさい。 【解】底面BCDに垂直な面HIFGで考える Aから△BCDへの垂線AJ(高さ)を求める △DKIで,DK＝{ √( √2)2＋()2}＝√3 △ADJ∽△DKI(相似比√3：6)より,AJ＝ √2×6÷√3＝2√6体積＝ ×(×3×√3)×2√6＝ √2 |
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 図は,ある立体Kの展開図です。立体Kのすべての面は正三角形または正方形であり,辺の長さはすべて3cmです。図のなかの4点A,B,C,Dは,それぞれ立体Ｋの頂点を表しています。この展開図を組み立ててできる立体Kについて,  (1) 立体Kの体積を求めなさい。必要があれば,立方体の見取図を用いて考えなさい。【解】立方八面体(8つの角をカット) K＝立方体－三角錐×8 ＝(3√2)3－ ××（√2）3×8＝45√2 |
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