図形 28 展開図・投影図 (略解)
東北学院高校 (R5年) ★ 山形県立高校 (R5年) ★
 図は,ある立体図形の展開図です。この展開図を組み立ててできる立体の体積を求めなさい。


【解】方錐(底面が正方形の四角錐)
底面は1辺2cmの正方形 高さは2cm
 体積=×22×2=cm3
 
 
 右の図は,投影図の一部である。この図から考えられる立体の見取図として適切でないものを,次のア~工から1つ選び,記号で答えなさい。

【解】
 左図の赤線が必要
中央大附属高校 (R4年) ★ 山口県立高校 (R4年) ★
 図のような,辺の長さが1である正方形を底面とし,高さが4の正四角柱ABCD−EFGH がある。点Pは頂点Aを出発して正四角柱のすべての側面 を通るように進み頂点Eまで動く。点Pが辺DHの中点を経由して最短経路で移動するとき,点Pの描く線の長さを求めなさい。


【解】(右図参照)
長さ=√32+22+√12+2213+√5
 図1は1辺の長さが1mである立方体である。この立方体を,ある3つの頂点を通る平面で切り取ると,立体Xと立体Yができる。図2は立体Xの投影図である。
 立体Xの体積をV,立体Yの体積をV'としたとき,体積の整数比V:V'を求めなさい。


【解】まず,Yの体積V'を求める
V'=×(×12)×1=
V:V'=(1-)::5:1
近大附属和歌山高校 (R4年) ★★ 筑波大附属坂戸高校 (R4年) ★
 図のように,正方形の画用紙から半径が8cm,中心角が90°のおうぎ形ABCと円Oを切り取って,円すいを作ることにした。ただし,円Oは正方形の2辺に接している。画用紙の厚みやのりしろは考えないものとする。

(1) 円Oの半径を求めなさい。
【解】弧BC=円Oの円周
半径rとすると,×16π=2πrで,半径r2cm

(2) 画用紙の1辺の長さを求めなさい。
【解】
対角線AD=AO+OD=8+r+√2r=10+2√2
1辺=AD÷√2 10+2√2 (5√2+2)cm
2
 図は,ある立体の投影図です。立面図は正三角形,平面図は1辺の長さが2cmの正方形です。 

(1) この立体の名称を答えなさい。
【解】
正四角すい

(2) この立体の表面積を求めなさい。
【解】正三角形×4+正方形
表面積=(×22)×4+22(4√3+4)cm2

(3) この立体の体積を求めなさい。
【解】対角線上の立面図より,
高さ=√22-(√2)2=√2
体積=×22×√22cm3 

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