 図形 |
２９ 四面体 （略解） | |
| 図形 |
２９ 四面体 （略解） | |
| １ | 市立西京高校 （Ｒ６年） ★★★ | ４ | 巣鴨高校 （Ｒ４年） ★★ | ||||||
 正四面体ABCDに半径１の球が内接している。この正四面体の１辺の長さを求めよ。ただし,内接するとは,球が正四面体のすべての面と接することである。【解】正四面体＝立方体−三角錐×4 1辺aの正四面体＝  √2a3…ア半径1の球が内接する正四面体＝  × a2×4…イア＝イより, √2a3＝ a2で, a＝2√6 |
 OPの長さと△POMの面積をそれぞれ求めなさい。【解】 △ONPで,∠ONP＝90°,ON＝2√3 OP＝√(2√3)2＋12＝√13 ∠OMP＝90°より,△OMPで, MP＝√(√13)2−22＝3 △POM＝  ×3×2＝3 |
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| ２ | 市川高校 （Ｒ５年） ★★★ | ５ | 明治大付属明治高校 （Ｒ４年） ★★★ | ||||||
 右の図のように,四面体ABCDがあり,AB＝AC＝AD＝√21,CD＝2√5,BC＝BD＝√30である。また,CDの中点をM,Aから△BCDに下ろした垂線と△BCDとの交点をHとする。 (1) AMの長さを求めよ。 【解】 △ACMで,AM＝√(√25)2−(√5)2＝4 (2) AHの長さを求めよ。 【解】 △BCMで,BM＝√(√30)2−(√5)2＝5 △ABMで,BH＝xとすると, AH2＝(√21)2−x2＝42−(5−x)2で,x＝3 AH2＝(√21)2−32＝12より, AH＝√12＝2√3  (3) Hを中心として半径√5の球を平面ACDが切りとってできる断面と,△ACDの共通部分の面積を求めよ。【解】斜線部分＝扇形＋二等辺三角形 面積＝(√2)2π×  ＋(√2)2＝ π＋1 |
 図のように,1辺の長さが6の正四面体OABCがある。辺OAの中点をMとし,辺O上に点PをMP＋PCの長さが最短となるようにとる。(1) MP＋PCの長さ 【解】（右図参照） △MOHで,∠MOH＝60°より, OH＝  ,MH＝√3△MCHで,MC＝√ { (  )2＋(√3)2}＝3√7 (2) △MPCの面積 【解】△POM∽△PBC(相似比1:2) △MPCで,垂線MNをおろし, PN＝xとすると, MN2＝(√7)2−x2＝(3√7)2−(2√7−x)2 これを解いて,x＝  √7で,MN＝ √35△MPC＝ ×2√7×√35＝3√5(3) 小さいほうの立体に内接する球の半径 【解】（右図参照） 三角錐O-MPC＝正四面体O-ABC× ×＝ √2×63× ＝3√2 …ア△OMC＝ ×3×3√3＝ √3…イ△OPM＝ ×3×√3＝√3…ウ△OPC＝ ×6×√3＝3√3…エ内接球の半径をrとすると,ア〜エより, (√3＋√3＋3√3＋3√5)r＝3√2
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  [公式] 1辺aの正四面体高 さ h＝ √6a体 積 V＝ √2a3 表面積S＝ √3a2外接球の半径R＝ √6a内接球の半径r＝ √6a |
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| ３ | 日本大第二高校 （Ｒ６年） ★★★ | (2) 正四面体ABCDの体積を求めよ。 【解】△NBCは正四面体を,ADと垂直に2等分割している △NBC＝ ×6×3√2＝9√2体積＝ △NBC×(AD＋ND)＝×9√2×6＝18√2(3) 四面体ABCPの体積を求めよ。 【解】（三角錐A-BNC)＋(三角錐P-BNC) AP＝xとすると,AP2＝MP2＝MN2＋(AP−AN)2 x2＝(3√2)2＋(x−3)2より,x＝AP＝ 体積＝ △BNC×AP＝×9√2×＝（27/2)√2 |
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 図のように,1辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて,2辺BC,ADの中点をそれぞれM,Nとし,辺AD上にAP＝MPとなるような点Pをとる。(1) 線分MNの長さを求めよ。 【解】MNは△NBCの中線 △NBCで,NB＝NC＝3√3 MN＝√(3√32)−32＝3√2 (右へつづく→) |
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