図形 | 29 四面体 (略解) |
1 | 函館ラ・サール高校 (R4年) ★ | 3 | 巣鴨高校 (R4年) ★★ | ||||||
折れ線DP+PQ+QR+RA の最小の長さを求めなさい。 【解】展開図で考える △AHDで, AD=√(2√3)2+102 =√112=4√7cm |
OPの長さと△POMの面積をそれぞれ求めなさい。 【解】 △ONPで,∠ONP=90°,ON=2√3 OP=√(2√3)2+12=√13 ∠OMP=90°より,△OMPで, MP=√(√13)2−22=3 △POM=×3×2=3 |
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2 | 市川高校 (R5年) ★★★ | 4 | 明治大付属明治高校 (R4年) ★★★ | ||||||
右の図のように,四面体ABCDがあり,AB=AC=AD=√21,CD=2√5,BC=BD=√30である。 また,CDの中点をM,Aから△BCDに下ろした垂線と△BCDとの交点をHとする。 (1) AMの長さを求めよ。 【解】 △ACMで,AM=√(√25)2−(√5)2=4 (2) AHの長さを求めよ。 【解】 △BCMで,BM=√(√30)2−(√5)2=5 △ABMで,BH=xとすると, AH2=(√21)2−x2=42−(5−x)2で,x=3 AH2=(√21)2−32=12より, AH=√12=2√3 (3) Hを中心として半径√5の球を平面ACDが切りとってできる断面と,△ACDの共通部分の面積を求めよ。 【解】斜線部分=扇形+二等辺三角形 面積=(√2)2π×+(√2)2=π+1 |
図のように,1辺の長さが6の正四面体OABCがある。辺OAの中点をMとし,辺O上に点PをMP+PCの長さが最短となるようにとる。 (1) MP+PCの長さ 【解】(右図参照) △MOHで,∠MOH=60°より, OH=,MH=√3 △MCHで,MC=√ {()2+(√3)2}=3√7 (2) △MPCの面積 【解】△POM∽△PBC(相似比1:2) △MPCで,垂線MNをおろし, PN=xとすると, MN2=(√7)2−x2=(3√7)2−(2√7−x)2 これを解いて,x=√7で,MN=√35 △MPC=×2√7×√35=3√5 (3) 小さいほうの立体に内接する球の半径 【解】(右図参照) 三角錐O-MPC=正四面体O-ABC×× =√2×63×=3√2 …ア △OMC=×3×3√3=√3…イ △OPM=×3×√3=√3…ウ △OPC=×6×√3=3√3…エ 内接球の半径をrとすると,ア〜エより, (√3+√3+3√3+3√5)r=3√2
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[公式] 1辺aの正四面体 高 さ h=√6a 体 積 V=√2a3 表面積S=√3a2 外接球の半径R=√6a 内接球の半径r=√6a |