図形 | 30 正八面体 (略解) |
1 | 中央大附属横浜高校 (R4年) ★★ | 3 | 就実高校 (R4年) ★ |
1辺の長さが8の正八面体ABCDEF があり,辺ABの中点をM,辺CDの中点をNとする。 (1) 三角すいMBCEの体積を求めなさい。 【解】 体積=△BCE×(√2×8)× =×82×2√2=(128√2)/3 (2) MNの長さを求めなさい。 【解】 等脚台形LMCDで,MC=LD=MN △ABCで,CM=4√3より, MN=CM=4√3 |
図のような1辺の長さが6cmの立方体がある。この立方体の各面の対角線の交点を結んで正八面体を作るとき,この正八面体の体積は[ ]cm3である。 【解】(右図参照) △OABで, OA=OB=3より, AB=3√2 正八面体の1辺は3√2cmとなって, 体積=√2×(3√2)3=√2×54√2=36cm3 |
||
2 | 東京学芸大附属高校 (R5年) ★★ | 4 | 慶應義塾志木高校 (R4年) ★★★ |
右の図のように,1辺の長さが2cmの正八面体ABCDEFがあり,辺BFの中点をM,辺ACの中点をNとする。 (1) △ABFの面積を求めなさい。 【解】正方形ABFDの半分 △ABF=22÷2=2cm2 (2) 線分AMの長さを求めなさい。 【解】△ABMは直角三角形 AM=√22+12=√5cm (3) 線分MNの長さを求めなさい。 【解】切り口は正六角形 MN=√3cm (4) △AMNの面積を求めなさい。 【解】△MNCは二等辺三角形 MH=√(√3)2+(1/2)2=√11 △AMN=×1×√11=√11/4cm2 |
図のような1辺の長さが2の正八面体ABCDEFがあり,辺AB上の点P,辺AC上の点QをAP:PB=AQ:QC=2:1となるようにとる.正八面体ABCDEFを,次のような平面で切るとき,切り口の面積を求めよ。 (1) △DEFに平行で2等分する平面 【解】(右上図参照) 切り口は,1辺1の正六角形 面積=(√3×12)×6=√3 (2) 線分PQを含み2等分する平面 【解】(右図参照)M,Nは中点 切り口は,六角形で, PM=√ {(√3)2+()2}=√7 PH=√ {(√7)2−()2}=√6 面積=台形PMNQ×2 =(+2)×√6×2=√6 |
||
[公式] 1辺aの正八面体 高 さ h=√2a (半分) 外接球の半径R=√2a 体 積 V=√2a3 内接球の半径r=√6a 表面積S=2√3a2 |