図形 30 正八面体 (略解)
中央大附属横浜高校 (R4年) ★★ 就実高校 (R4年) ★
 1辺の長さが8の正八面体ABCDEF があり,辺ABの中点をM,辺CDの中点をNとする。

(1) 三角すいMBCEの体積を求めなさい。
【解】
体積=△BCE×(2×8)×
 =×82×2√2(128√2)/3

(2) MNの長さを求めなさい。
【解】
等脚台形LMCDで,MC=LD=MN
△ABCで,CM=4√3より, MN=CM=4√3
 図のような1辺の長さが6cmの立方体がある。この立方体の各面の対角線の交点を結んで正八面体を作るとき,この正八面体の体積は[  ]cm3である。


【解】(右図参照)
△OABで, OA=OB=3より, AB=3√2
正八面体の1辺は3√2cmとなって,
体積=2×(3√2)32×54√236cm3


 
東京学芸大附属高校 (R5年) ★★ 慶應義塾志木高校 (R4年) ★★★
 右の図のように,1辺の長さが2cmの正八面体ABCDEFがあり,辺BFの中点をM,辺ACの中点をNとする。

(1) △ABFの面積を求めなさい。
【解】正方形ABFDの半分
△ABF=22÷2=2cm2

(2) 線分AMの長さを求めなさい。
【解】△ABMは直角三角形
AM=√22+125cm

(3) 線分MNの長さを求めなさい。
【解】切り口は正六角形
MN=3cm

(4) △AMNの面積を求めなさい。
【解】△MNCは二等辺三角形
MH=√(√3)2+(1/2)211
△AMN=×1×1111/4cm2
 図のような1辺の長さが2の正八面体ABCDEFがあり,辺AB上の点P,辺AC上の点QをAP:PB=AQ:QC=2:1となるようにとる.正八面体ABCDEFを,次のような平面で切るとき,切り口の面積を求めよ。


(1) △DEFに平行で2等分する平面
【解】(右上図参照)
切り口は,1辺1の正六角形
面積=(3×12)×6=3

(2) 線分PQを含み2等分する平面
【解】(右図参照)M,Nは中点
切り口は,六角形で,
PM=√ {(3)2+()2}=7
PH=√ {(7)2−()2}=6
面積=台形PMNQ×2
 =(+2)×6×2=6
[公式]  1辺aの正八面体
 高 さ h2a (半分)    外接球の半径R=2a
 体 積 V=2a3       内接球の半径r6a
 表面積S=2√3a2

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