図形	３１　多面体　（略解）

１	西大和学園高校　（Ｒ４年）　★★	４	桐朋高校　（Ｒ４年）　★★★
このとき,図2の立体の体積を求めよ。 【解】切断面PQRSを考える PQ,SRの延長交点Oをとると, 　正六角錐O-PS∽正六角錐OｰQR 　　　(相似比は1:2)…ア 正六角錐OｰQR＝×正六角形×OH 　＝×(√3×42×6)×4√3＝96…イ アイより, 体積＝正六角錐OｰQR× 　　　　　＝96×＝84		(1) △MNB'の面積 【解】 △MNB'＝台形NB'F'F−△NMF−△B'MF' 　＝(3√3＋6√3)×12 　　−×3√3×6−×6√3×6 　＝54√3−9√3−18√3＝27√3 (2) 三角錐D'-MNB'の体積 【解】三角錐D'-MNB'の高さは,DN＝12−3＝9 体積＝×27√3×9＝81√3 (3) 頂点Ｎを含む方の立体の体積 【解】 Pから面MB'D'に下ろした垂線をhとすると, 　h:6＝12:√62＋92より, h＝√13 …ア Nから面MB'D'に下ろした垂線をl とすると, 　MD'＝MB'＝√62＋(6√3)2＝12より, 　△MB'D＝×6√3×√122−(3√3)2＝9√39 三角錐D'-MNB'＝81√3＝×9√39より,l＝√13…イ アイより，h: l＝8:9で, 体積＝81√3×()3＝√3
２	筑波大附属駒場高校　（Ｒ５年）　★★★
(1) 正四角すいの体積 【解】 体積＝×102×5√2＝(500√2)/3 (2) 多面体(切頂八面体という)の体積 【解】一辺30cmの正八面体−(1)×6 体積＝( 500√2 ×32)×2− 500√2 ×6＝8000√2 3 3
３	洛南高校　（Ｒ５年）　★★★	５	早稲田大高等学院　（Ｒ５年）　★★★
(1) (ｱ) △AELの面積(右図) 【解】二等辺三角形 △AEL＝×2√3×√5＝√15 　(ｲ) 四面体AEILの体積 【解】(三角錐A-MLI)−(三角錐E-MLI) 体積＝2(×4×2)×√3×＝√3 (2) (ｱ) 手順�@で通過する面積 【解】△AGE＋扇形GEE'(右上図) 面積＝×2×2√3＋42π×＝2√3＋4π (ｲ) 手順�@〜�Cで曲線の長さの和 【解】 手順�A＝8π×＝π　手順�B＝4√3π×＝√3π Eが描く曲線PE＝√22＋(√3)2＝√7 　手順�C＝2√7π×＝√7π 長さの和＝(2＋＋√3＋√7)π 　　＝ 20＋4√3＋3√7 π 6		(1) 多面体P(正四角反柱という)の表面積 【解】正方形2個＋正三角形8個 表面積＝12×2＋×12×8＝2＋2√3 (2) 断面の図形の面積 【解】1辺の正八角形 断面積＝(＋×2)2−×()2×4＝(√2＋1)/2 (3) 周の長さを求めよ。 【解】四角形DGEA 周の長さ＝√2＋1×3＝√2＋3 (4) h2の値を求めよ。 【解】h＝APとする △EHKで, 　(√2x＋x)2＋x2＝12 　x2＝1/(4＋2√2) △APMで,h2＝AM2−PM2＝AM2−(PE2−EM2) 　＝()2−2x2＋()2＝1−2x2＝√2/2

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