 図形 |
３２ 球 （略解） | |
| 図形 |
３２ 球 （略解） | |
| １ | 都立産業技術高専 （Ｒ５年） ★★ | ４ | 久留米大附設高校 （Ｒ６年） ★★ |
| 半径rcmの球が,点Pで平面Hと接している。 (1) r＝3のとき,球Oの体積  【解】球O＝ π×33＝36πcm3(2) ∠SQOと∠ROPの比 【解】△SORと△OSQは二等辺三角形 ∠SQO＝2aとすると,∠ROP＝3aで, 2:3 (3) 線分QSの長さ  【解】OからQRに垂線OTをおろす△PQRで,QR＝√(2r)2＋r2＝√5r △QTO∽△QPR(比1:√5)より, QT＝2r×(1/√5)＝  √5rQS＝2QT＝  √5rcm |
 (1) １辺の長さが10の正四面体の高さを求めよ。【解】△OAMで考える h2＝102－x2＝(5√3)2－（5√3－x)2 これを解いて,x＝  √3高さh＝√ {100－( √3)2}＝ √6 (2) 右図のように正三角柱の中に下の段から順に6個,3個,1個の半径1の球が互いに接するように積んである。最下段の6個の球はすべて正三角柱の底面と側面にも接している。また,最上段の球は正三角柱の上面に接している。この正三角柱の高さを求めよ。【解】 高さ＝(1辺4の正四面体の高さ)＋(球の半径)×2 ＝  √6×4＋2＝ √6＋2 |
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| ２ | 中央大附属高校 （Ｒ４年） ★★ | ５ | 明大付属中野八王子高校 （Ｒ４年） ★★ |
| 粘土でできた表面積が16πである球を体積の等しい8つの小球に分割するとき,8つの小球の表面積の和を求めなさい。 【解】大球∽小球(相似比2:1) 体積比＝8:1より,表面積比＝4:1で, 小球の表面積の和＝16π×  ×8＝32π |
縦,横,高さが4cm,5cm,7cmの直方体のすべての頂点を通る球の表面積を求めなさい。 【解】直方体の対角線＝外接球の直径 球の半径をrとすると, 2r＝√42＋52＋72＝3√10で,r＝  √10表面積＝4π×( √10)2＝90πcm2 |
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| ３ | 大阪産大附属高校 （Ｒ４年） ★★★ | ６ | 桐蔭学園高校 （Ｒ６年） ★★ |
 図のように,5点O,A,B,C,Dは球の表面上 の点であり,立体O-ABCDは正四角錐である。球の半径が6cm,AB＝8cmのとき,(1) 球の体積を求めなさい。 【解】 体積＝ π×63＝288πcm3 (2) ACの長さを求めなさい。 【解】 △ABCで,AC＝√82＋82＝8√2cm (3) 正四角錐O-ABCDの体積を求めなさい。 【解】球の中心をKとすると, △KAHで,KH＝√62－(4√2)2＝2で, OH＝6＋2＝8 体積＝ ×82×8＝512/3cm3(4) 正四角錐O-ABCDの表面積を求めなさい。 【解】 △OAHで,OA＝√(4√2)2＋82＝4√6 ABの中点をMとすると,△OAMで, OM＝√(4√6)2－42＝4√5 表面積＝(  ×8×4√5)×4＋82＝(64√5＋64)cm2 |
 右の図のように,1辺の長さが4である正三角形を底面とする正三角柱ABC-DEFがある。この正三角柱のすぺての面に接する球Oがある。(1) 球の半径は[ ]であり,正三角柱の体積は[ ]である。 【解】水平に2等分割するとき,  円Oは正三角形(1辺4)の内接円半径＝2÷√3＝  √3体積＝(  ×42)×( √3×2)＝16(2) 球の中心をOとするとき,０Ａ＝[ ]である。 【解】OM＝中線× ＝2√3×＝√3OA＝√ { ( √3)2＋(√3)2}＝√15 (3) 辺BE上に点G,辺CF上に点Hをとり,ＡG＋GH＋HDが最小になるときを考える。このとき,BG＝[ ]である。【解】側面の展開図で考える BG＝ BE＝(√3×2)×＝ √3(4) (3)でとった点G,Hと点Aを通る平面でこの立体を切る。点Dを合むほうの立体の体積は[ ]である。 【解】立体は切頭三角柱(斜めにカット) 体積＝(底面積)×(高さの平均) ＝4√3× √3(1＋＋)×＝4√3× √3＝32/3 |
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