データの活用

８　場合の数１　（略解）

１	桐光学園高校　（Ｒ４年）　★★	６	都立国分寺高校　（Ｒ４年）　★★
0,1,2,3,4,5から異なる4個の数字でできる4桁,奇数は全部で何個あるか。 【解】(一)→(千)→(百)→(十)の順で考える 一位は,1,3,5の3通り　　千位は,0と一位数以外の4通り 百位は,一位と千位以外の4通り　　十位は,残りの3通り 　よって,3×4×4×3＝144個		この袋の中からカードを1枚ずつ続けて3回袋に戻さずに取り出す。 　1枚目のカードに書かれた数字を百の位の数,2枚目のカードに書かれた数字を十の位の数,3枚目のカードに書かれた数字をーの位の数とする3桁の整数をつくるとき,できる3桁の整数は全部で何通りあるか。 【解】3数の組合せ方で場合分け ・(1,1,2) が3通り　　・(1,1,3) が3通り ・(1,2,2) が3通り　　・(1,2,3) が6通り ・(2,2,3) が3通り 　よって,3×4＋6＝18通り
２	東海大付属浦安高校　（Ｒ６年）　★★
もも9個,梨3個をA,B,Cの3人に4個ずつ配ります。配り方は全部で[　　]通りになります。 【解】梨の配り方で3パターン ・(なななも),(もももも),(もももも)が3通り ・(ななもも),(なもももも),(もももも)が6通り ・(なももも),(なもももも),(なもももも)が1通り 　よって,3＋6＋1＝10通り
３	桃山学院高校　（Ｒ６年）　★★	７	福岡大附属大濠高校　（Ｒ４年）　★★★
x＋y＋z＝9を満たす自然数x,y,zの組は何通りありますか｡ただしzはx以下の数とします。 【解】zで場合分け(1≦z≦3, z≦x) ・z＝1のとき,x＋y＝8で,7通り ・z＝2のとき,x＋y＝7(x≧2)で,5通り ・z＝3のとき,x＋y＝6(x≧3)で,3通り ・z＝4のとき,x＋y＝5(x≧4)で,1通り 　よって,7＋5＋3＋1＝16通り		縦横等問隔に16個の点が並んでいる。正方形は全部で[　　]個できる。 【解】間隔の長さを1とすると, ・1辺1が3×3＝9個　　・1辺√2(赤)が4個 ・1辺2が2×2＝4個　　・1辺√5(青)が2個 ・1辺3が1×1＝1個 　9＋4＋1＋4＋2＝20個
４	ラ・サール高校　（Ｒ５年）　★★★	８	早稲田佐賀高校　（Ｒ４年）　★★★
図のように,縦4マス,横3マスの長方形のマス目にいくつかの碁石を並べることを考える。縦に2つは続かない並べ方は何通りあるか。 (1) 碁石を6個並べるとき 【解】縦列に2個ずつ並べる 1列に2個は3通りだから, 33＝27通り (2) 碁石を5個並べるとき 【解】縦列に2個,2個,1個並べる 1列に1個は4通りだから, 　(32×4)×3＝108通り (3) 碁石を4個並べるとき 【解】縦列に2,1,1個,または縦列に2個,2個,0個 (3×42)×3＋(32×1)×3＝144＋27＝171通り		取り出した順番に一の位,十の位,百の位として3桁の整数を作る。 (1) 3桁の整数は全部で何通りあるか。 【解】123〜543 5×4×3＝60通り (2) 3桁の整数が500より大きくなる確率 【解】512〜543 百位が5で, 確率＝ (3) 3桁のすべての整数の平均値 【解】一位には,1〜5が12個ずつ 一位の平均＝(1＋2＋3＋4＋5)÷5＝3 同様に,十位も百位も平均＝3 　平均値＝3×100＋3×10＋3×1＝333
５	早大高等学院　（Ｒ６年）　★	９	早稲田実業高等部　（Ｒ６年）　★★
大小2つのさいころを投げ,大きいさいころの目を十の位の数,小さいさいころの目を一の位の数とする,2けたの数mを作る。次の条件を満たすmは,それぞれ何個あるか求めよ。 (1) 3の倍数である。 【解】12個 (2) 素数である。 【解】8個		の4枚のカードを のように並べて式を作る。例えば, と並べるとその値は112である。式の値が3の倍数となるような並べ方は全部で何通りあるか。 【解】ab(10c＋d)とする ・a＝3のとき,(b,c,d)は6通り ・c＋dが3の倍数のとき,(c,d)＝(1,2) (2,1) (2,4) (4,2)の4通り 　よって,6＋4＝10通り

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