4 資料の活用
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11 集合とベン図2 (解答)
開成高校 (H29年) ★★★ 灘 高校 (H29年) ★★★
(ア) 平均値として考えられる数値

【解】 右図参照

Aのみ正解a名,Bのみ正解b名,
 AB両方正解c名とすると,
Cの正解者は0.4c
(このとき,cは5の倍数でなければならない)

ac=28…ア,bc=22…イ,abc≦40…ウ

c=0のとき,a=28,b=22で
 abc=50>40となり不適
c=5のとき,a=23,b=17で,
 a
bc=45>40となり不適
c=10のとき,a=18,b=12で,
 abc=40≦40となり適する(0.4c=4名)
平均点={5×(18+10)+7×(12+10)
 +3×4}÷40=7.65

c=15のとき,a=13,b=7で,
 abc=35≦40となり適する(0.4c=6名)
平均点={5×(13+15)+7×(7+15)
 +3×6}÷40=7.8

c=20のとき,a=8,b=2で,
 abc=30≦40となり適する(0.4c=8名)
平均点={5×(8+20)+7×(2+20)
 +3×8}÷40=7.95

・イより,c=25以上の場合は不適

よって平均値として, 7.65 7.8 7.95
 

(イ) 得点分布の中央値
【解】

平均点が7.95の場合で,a=8,b=2,c=20

無正解(0点)が10名,A(5点)が8名,B(7点)が2名,
 AとB(12点)が12名,AとBとC(15点)が8名

 中央値は20・21番目で, 7+12 9.5
2
(1) 3人に共通な本が1冊で,Dはそれを読まない


【解】(右図参照)

ABCのうち2人共通は,ABC3人共通と同じで,tの1冊が7通り

・Aの2冊p1,p2は,tを除いた6冊から2冊を選ぶので,6×5÷2=15通り
・Bの2冊q1,q2は,t,p1,p2を除いた4冊から2冊を選ぶので,4×3÷2=6通り
・Cの2冊は,t,p1,p2,q1,q2を除いた残り2冊で,自動的に決まるから1通り
・Dは,各集合{p1,p2},{q1,q2},{r1,r2} の中から1冊ずつ選べばよいから,23=8通り

よって全部で,7×15×6×1×8= 5040通り
 

(2) どの3人も共通に読む本がない


【解】(右図参照)

まずA,B,Cの3人が右図のように選んだとすると,
 p,q,p,x,y,zの決まり方は,
  7×6×5×4×3×2= 5040通り

x,y,zはすでに2人に選ばれているから,Dは選べない。
・Dはp,q,rの3冊を選ぶしかないので,自動的に1通り決まる

よって全部で, 5040通り
 
(3) 4人の本の選び方は全部で何通りあるか。 


【解】(1)か(2)のパターンしかない

(1)の場合で,3人の決まり方は4通り

よって全部で,5040×4+5040=25200通り
 

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